Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

II. TEORI MNOESTV
1. Osnovnye opredeleni
1.1. Standartnye mnoestva i operacii
K koncu
XIX
veka stalo sno, qto lba matematiqeska te-
ori imeet delo s mnoestvami obektov. Imenno v to vrem
v rabotah G. Kantora voznikla teori mnoestv, kak matema-
tiqeska nauka, kotoru mono rassmatrivat~ kak IPFP s
ravenstvom i
sootnoxeniem prinadlenosti
T
∈
U , gde T
—
term, nazyvaemy$i
lementom
,
U
— term, nazyvaemy$i mnoes-
tvom
. Oboznaqenie
T
∈
U
moet byt~ proqitano kak ”lement
T
prinadleit mnoestvu
U ”. Predikat
T ∈U obyqno obozna-
qaets simvolom T /∈ U i moet byt~ proqitan kak ”lement
T ne prinadleit mnoestvu U ”. Mnoestva lementov mogut
rassmatrivats kak lementy drugogo mnoestva i potomu
raznica medu lementami i mnoestvami isqezaet i for-
mal~no teori mnoestv imeet delo s termami. Kantorovskoe
opredelenie mnoestva, dopuskawee dl proizvol~nogo soot-
noxeni
P suwestvovanie mnoestva M
P
lementov x, udov-
letvorwih P , t. e. takih, qto `(x
∈ M
P
)
∼ P
, privelo k
povleni nerazreximyh protivoreqi$i (paradoksov), obesceni-
vawih teori mnoestv. Sut~ paradoksov v tom, qto dl
nekotoryh sootnoxeni$i
P mono dokazat~ teoremy `
x
∈M
P
i
`x /
∈
M
P
. V XX
veke bylo predloeno neskol~ko sistem aksiom
teorii mnoestv, isklqawih izvestnye paradoksy.
Opredelenie 1.1
(Vklqenie).
Pust~
A, B
— termy, ne soder-
awie
x. Sootnoxenie A
⊆
B
(
∀x)((
x ∈
A
) →
(x
∈B))
nazyvaets
sootnoxeniem vklqeni i qitaets odnim iz sleduwih sposo-
bov: ”
A
vklqaets v
B ”, ”
A
est~ qast~ (
podmnoestvo) B ”.
Sootnoxenie A ⊂ B (
A
⊆
B
)
∧(A
6=
B
) qitaets tak
: ”A
est~
sobstvennoe podmnoestvo mnoestva
B ”.
M
1
Aksioma obemnosti.
(∀A)(∀
B
)(
∀
x
)(((x∈
A)
∼
(x
∈B
))→(
A
=B)).
Intuitivno, aksioma obemnosti oznaqaet, qto dva mnoes-
tva, imewie odni i te e lementy, ravny.
Teorema 1.1 (Dokazatel~stvo vklqeni$i i ravenstv mnoestv).
`
A ⊆
B
togda i tol~ko togda, kogda
`
(
x ∈ A
)→
(
x ∈
B)
.
`
A = B togda i tol~ko togda, kogda `(
x ∈
A) ∼
(x ∈
B)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz `
(x∈A)
→
(
x
∈
B) sleduet
`A
⊆
B (vve-
denie
∀); iz
`A⊆
B sleduet
`(
x ∈
A
)
→
(x
∈
B)
(udalenie ∀).
Iz `(x
∈ A) ∼ (x ∈ B
) sleduet
`A =
B (vvedenie ∀
, M
1
); iz
`A=
B
sleduet
`(x∈
A
)∼(
x
∈ B)
(E
P
). J
49

Страницы