Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 1.2 (Svo$istva sootnoxeni vklqeni).
1) A⊆
A , 2) (A⊆B
)∧(
B⊆C) → (A⊆
C)
, 3) (A
⊆B)
∧(
B⊆
A)
→
(
A
= B
)
.
Dokazatel~stvo predlagaets v kaqestve upraneni.
Opredelenie 1.2 (Kollektiviziruwie sootnoxeni).
Soot-
noxenie
R
nazyvaets kollektiviziruwim po
x, esli
`(
∃y)(
∀x
)((x ∈ y) ∼
R), gde y — lba bukva ne sovpadawa
s
x i ne vhodwa v
R.
Intuitivno, sootnoxenie
R
nazyvaets kollektiviziruwim
po x
, esli dokazano suwestvovanie mnoestva, sostowego iz
teh i tol~ko teh lementov x
, kotorye udovletvort
R
.
M
2
Shema aksiom vydeleni. Dl lbogo sootnoxeni
R, ne
soderawego bukvu
A
sootnoxenie
(
x
∈
A)∧R vlets kollekti-
viziruwim po x
. Mnoestvo lementov x
, udovletvorwih
tomu sootnoxeni, oboznaqaets simvolom
{
x
∈A :
R}
.
sno, qto vypolnenie uslovi
(x ∈ y
) ∼
R pri vseh x
dl
nekotorogo
y
dostatoqno dl togo, qtoby sootnoxenie R
bylo
kollektiviziruwim po x. No to uslovie mono oslabit~.
Teorema 1.3 (Dostatoqnoe uslovie kollektiviziruemosti).
Esli
A — mnoestvo, x — bukva, ne vhodwa v A, `R
→(
x ∈A
),
to
R
— sootnoxenie, kollektiviziruwee po x.
D o k a z a t e l ~ s t v o .
`(
R→
(x∈
A))∼
((R
∧(
x∈
A
))
∼
R)
—
I.2.1.21).
Uqityva
`R→
(
x
∈A)
, poluqim
`
R
∼
(
R∧(x∈A
))
, otkuda po M
2
sleduet, qto
R
— sootnoxenie kollektiviziruwee po x.
J
Teorema 1.4 (Svo$istvo kollektiviziruwih sootnoxeni$i).
Dl kollektiviziruwego po
x
sootnoxeni
R sootnoxenie
(
∀x)((
x
∈y)
∼
R) funkcional~no po
y , gde y ne vhodit v
R.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
y, z ne vhodt v R. Po uslovi
`
(
∃
y
)
Q
(
y
), gde
Q(
y
)=(
∀x)((x
∈
y)∼
R
). Dokaem odnoznaqnost~ Q
.
1)
`((
x∈
y)∼
R)∧
((x
∈z
)∼
R
)
→
((x
∈
y)
∼(x∈
z
))
— teorema
I.2.1.18),
2)
`
(Q(y
)∧
Q
(
z)
→(∀
x
)((
x ∈
y
)
∼ (
x
∈ z))) — teorema
I
.3.1.1),18), 1,
3)
`(
Q
(y
)∧
Q
(z))
→(
y =z) — primer I
.2.5, 2, M
1
,
4) `
(∀
y)(∀
z
)(
Q(
y
)
∧Q
(
z) → (
y
=
z)) — vvedenie
∀
.
J
Opredelenie 1.3 (Mnoestvo, udovletvorwee sootnoxeni).
Esli R
(
x
)
— kollektiviziruwee po
x sootnoxenie, to mno-
estvo lementov, udovletvorwih
R(x
)
, oboznaqaets simvo-
lom {
x : R
(
x
)
}
, gde peremenna
x svzana. Esli R(x)
ne soder-
it bukvu
z
, to
z
∈{
x :
R
(x
)} R
(
z
)
. Vmesto {x : (
x ∈A
)
∧R
(x
)
}
qasto ispol~zuets oboznaqenie
{
x∈
A : R
(x)
}.
50

Страницы