Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sleduwa aksioma vvodit beskoneqnye mnoestva.
M
4
Aksioma beskoneqnosti. Suwestvut mnoestva A
, udov-
letvorwie uslovi
: (
∅
∈
A
)
∧
(∀
x)((
x
∈
A)→((
x
∪ {x}
)
∈A))
.
Mnoestvo N natural~nyh qisel opredelets kak perese-
qenie vseh mnoestv udovletvorwee aksiome beskoneqnosti.
lementami
N vlts mnoestva ∅
, {
∅},
{∅,
{∅
, }}
. . ., oboz-
naqaemye simvolami
0, 1
,
2, . . .
.
Vo mnogih priloenih teorii mnoestv rassmatrivat-
s tol~ko takie mnoestva, kotorye vlts podmnoestvami
nekotorogo fiksirovannogo mnoestva, nazyvaemogo
prostrans-
tvom
. V tom sluqae vmesto binarno$i operacii raznosti mo-
no vvesti unarnu operaci — dopolnenie mnoestva.
Opredelenie 1.4 (Dopolnenie).
Dopolnenie podmnoestva A
prostranstva
Ω
est~ mnoestvo
A Ω\
A = {
x ∈ Ω : x /∈ A
}.
Teorema 1.6 (Buleva algebra
P(Ω)). Mnoestvo
P(Ω)
vlets
bulevo$i algebro$i s operacimi
∪
,
∩
, , nulem ∅
i edinice$i
Ω
,
t. e. dl lbyh A, B, C iz P(Ω) vypolnts sootnoxeni:
1)
A
∪
B
=
B
∪
A,
2) A
∩ B
=
B
∩ A,
3) A
∪ (B ∪ C
) = (A ∪
B) ∪ C, 4) A ∩ (
B ∩
C) = (A
∩ B)
∩ C,
5)
A
∪
(
B ∩
C
) = (A ∪ B
)
∩
(A ∪
C
)
,
6)
A
∩ (B ∪ C) = (
A
∩ B
)
∪
(
A
∩
C
),
7) A ∪
A
= A,
8) A
∩
A = A,
9) A
∪
A = Ω
,
10) A
∩
A =
∅
,
11) A ∪ B = A ∩ B, 12) A ∩ B = A ∪ B,
13) A ∪ (A
∩
B
) =
A, 14) A ∩
(A ∪
B
) = A,
15) A
∪ ∅ = A, 16) A
∩ Ω = A,
17) A ∪
Ω = Ω,
18) A ∩
∅
= ∅,
19)
A
=
A.
Buleva algebra P
(Ω)
izomorfna bulevo$i algebre
B
Ω
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Ravenstva 1 — 19 legko dokazat~ s po-
mow~ teoremy 1.1. Naprimer, dokaem ravenstvo 14. Imeem
[
x ∈(A ∩
(A
∪ B))]
∼[(x
∈A
)∧
(x
∈
(
A
∪ B
))]
∼[(
x ∈A)
∧
((
x
∈A) ∨
(x ∈
B
))] ∼
∼[x∈A
], otkuda po teoreme 1.1 poluqim
A
∩
(A
∪ B) = A.
Ravenstvo
F
(
A)=(
x
∈
A
)
opredelet funkci, sopostvlwu
lbomu
A
iz P
(Ω)
lement iz B
Ω
. Ravenstvo G(
f) =
{
x : f
(x
)}
opredelet funkci, sopostavlwu lbomu lementu f
(
x
)
iz
B
Ω
lement iz
P(Ω)
. Tak kak G((x ∈ A)) = {
x :
x ∈ A
} = A
i
F
({
x : f
(
x)}) = x
∈{
z
:
f
(z)
} =
f
(x
), to funkci
F vzaimno od-
noznaqna. Iz ravenstv F
(
A ∪
B
) = (
x
∈
A
)
∨ (
x ∈
B
) =
F (A)
∨
F (B
)
,
F
(
A
∩ B
) = ( x
∈
A)∧
(x
∈ B) = F (A
)∧F (B
), F
(A
) = (
x /∈
A
) = F
(
A)
sleduet, qto bulevy algebry P
(Ω)
i
B
Ω
izomorfny.
J
52

Страницы