Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Opredelenie 3.3. (
Diskretnye i nepreryvnye raspredeleni)
.
1. Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets diskretnym, es-
li suwestvuet koneqnoe ili sqetnoe mnoestvo toqek x
i
∈ R
n
i sootvetstvuwih im verotnoste$i
p(x
i
) P ({x
i
}
)
, udov-
letvorwih uslovi normirovki
P
i
p
(
x
i
) = 1
, takih, qto
P (B
) =
P
x
i
∈B
p(
x
i
)
. Mnoestvo par (
x
i
, p
(
x
i
))
nazyvaets za-
konom raspredeleni
P
.
2
. Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets nepreryvnym, es-
li suwestvuet borelevska funkci
f
P
(
x
1
, . . .
, x
n
)>
0
, udovletvo-
rwa uslovi normirovki
R
∞
−∞
. . .
R
∞
−∞
f
P
(
x
1
, . . . , x
n
)
dx
1
. . .
dx
n
= 1,
taka, qto
P (
B
) =
R
. . .
R
B
f
P
(x
1
, . . .
, x
n
)
dx
1
. . .
dx
n
. Funkci
f
P
(
x
1
,
. . . , x
n
)
nazyvaets plotnost~ raspredeleni P
.
Primery
1.
Klassiqeskoe opredelenie verotnosti
: Ω
— ko-
neqnoe mnoestvo,
A = P
(Ω)
, verotnost~ P
opredelets uslo-
vimi
P (
{ω
}) =
1
n(Ω)
i
P
(
A
) =
X
ω∈A
P
({ω
}) =
n
(A)
n(Ω)
.
2. Diskretnoe verotnostnoe prostranstvo: Ω — koneqnoe ili
sqetnoe mnoestvo, A =
P
(Ω), verotnost~
P opredelets us-
lovimi
P
(
{
ω
i
}) = p
i
>0
, gde
X
i
p
i
= 1
, i P
(A) =
X
ω∈A
P (
{ω}).
3. Odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe prostranstvo
:
(Ω, A
) =
= (
R, B
)
, P — odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe raspre-
delenie, opredelemoe plotnost~
f
P
(x
).
4.
Odnomernoe geometriqeskoe opredelenie verotnosti: primer
3 pri
f
P
(x) =
I
Ω
1
(
x
)
l(Ω
1
)
, gde Ω
1
∈
B
. Dl A
∈ B∩
Ω
1
P (A
)
l
(A)
l(Ω
1
)
.
Teorema 3.1.
(
Svo$istva verotnosti
)
.
1
. P
(A\
B) = P (
A)
−
P
(A
∩ B)
, B
⊆
A vleqet
P
(
A\
B
) = P (A
)
−
P (B
)
.
2
. P (
A
) = 1 −
P
(
A
).
3. B⊆
A vleqet
P
(B)
6P
(A).
4
. P
(
A ∪ B) =
P (A
) +
P (
B)
−
P (A
∩ B
) (teorema sloeni).
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Netrudno ubedit~s v tom, qto
A =
= (A\
B) ∪(A
∩B)
i (A\B) ∩(
A ∩
B) = ∅
. Po aksiome P
3
poluqim
P
(
A
) = P (
A\B) +
P (
A
∩
B)
i potomu P (
A
\
B) =
P
(
A)
−
P (A ∩
B
)
.
Esli B⊆A
, to
A
∩
B = B i
P (A
\
B) =
P (
A
) − P
(B
).
2. Iz A = Ω\A i svo$istva 1 sleduet P (A) = P (Ω\A) = 1 −
P (
A).
3. Sootnoxenie 3 vytekaet iz aksiom P
1
, P
2
i svo$istva 1.
4. Poskol~ku
A
∪ B
= (
A\
B)
∪ B i sobyti
A
\B i B nesov-
mestny, to s uqetom 1 po aksiome P
3
poluqim P (A ∪ B) =
= P (
A\
B) + P
(B) =
P
(A) + P (B) − P
(A
∩ B)
. J
79

Страницы