Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sledstvie. P
(A
∪B ∪
C
) = P (A)+
P
(
B
)+
P (C
)−
P
(A
∩B
)−P
(
A∩C)−
−P (
B ∩
C
) +
P (
A ∩ B
∩
C
).
3.2. Uslovna verotnost~. Nezavisimost~ sobyti$i
Opredelenie 3.4. (
Uslovna verotnost~
). Pust~
P
(B
)
>
0
. Us-
lovno$i verotnost~ sobyti$i pri uslovii, qto proizoxlo soby-
tie
B
, nazyvaets funkci P
B
: A
→ R, opredelema formulo$i
P
B
(A)
P
(A
∩
B
)
P
(
B
)
.
Netrudno ubedit~s v tom, qto dl uslovno$i verotnosti
vypolnts aksiomy
P
1
—
P
4
.
Teorema 3.2.
(
Teorema umnoeni
). Esli P (A
)
6
= 0
i
P (B
) 6
= 0
,
to P
(
A
∩
B
) = P
(A
)
P
A
(
B) = P (B)
P
B
(A
). Esli P
(
A
) = 0 ili
P
(B) = 0, to P (A
∩ B
) = 0.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pervye sootnoxeni vytekat iz opre-
deleni uslovno$i verotnosti, a poslednee iz aksiomy
P
1
i
svo$istva 3 verotnosti. J
Sledstvie.
(Formula Ba$iesa
). P
A
(B) =
P (
B
)
P
B
(A)
P (
A)
.
Opredelenie 3.5.
(
Polna gruppa sobyti$i). Mnoestvo sobyti$i
{H
1
,
. . .
, H
n
} nazyvaets polno$i gruppo$i sobyti$i, esli vypoln-
ts uslovi
: 1)
H
i
∩
H
k
= ∅ pri i 6
= k , 2)
S
n
k=1
H
k
= Ω.
Teorema 3.3. (Formula polno$i verotnosti). Esli {
H
1
, . . .
, H
n
}
— polna gruppa sobyti$i i P
(H
k
)
6
= 0, to dl vskogo A
∈
A
P (
A
) =
n
X
k=1
P
(
H
k
)P
H
k
(A)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku
A
=
A∩
S
n
k=1
H
k
=
S
n
k
=1
(
A∩H
k
)
i
(
A ∩ H
i
)
∩
(A ∩
H
k
) = ∅ pri
i
6= k , to soglasno teoreme 3.4
P
(A) =
P (
S
n
k=1
(
A
∩ H
k
)) =
P
n
k
=1
P (
A
∩ H
k
) =
P
n
k=1
P (
H
k
)
P
H
k
(
A). J
Opredelenie 3.6 (Nezavisimost~). Sobyti seme$istva
{
A
t
}
t
∈T
nazyvats (statistiqeski
)
nezavisimymi, esli dl lbogo
koneqnogo mnoestva indeksov
P
T
n
k
=1
A
t
k
=
Q
n
k=1
P
(
A
t
k
), v
qastnosti,
A i B nezavisimy, esli
P (
A
∩
B) =
P (A
)
P
(B
)
.
Seme$istvo {M
t
}
t∈T
mnoestv sobyti$i nazyvaets seme$istvom
nezavisimyh mnoestv sobyti$i, esli sobyti, vybrannye po
odnomu iz kadogo mnoestva M
t
, nezavisimy. V qastnos-
ti, mnoestva sobyti$i C, D
nezavisimy, esli P (C ∩ D) =
= P
(
C
)P
(D)
dl lbyh
C
∈ C
, D
∈
D.
80

Страницы