Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Odna iz modele$i, v kotoro$i suwestvennym obrazom is-
pol~zuets pontie nezavisimosti, svzana s situacie$i, kogda
provodits seri n sluqa$inyh ksperimentov fiziqeski neza-
visimo drug ot druga. Taka seri ksperimentov nazyvaets
posledovatel~nost~
n
nezavisimyh ispytani$i
, a kady$i ot-
del~ny$i sluqa$iny$i ksperiment —
ispytaniem.
Postroim matematiqesku model~ posledovatel~nosti
n
ne-
zavisimyh ispytani$i pri zadannyh verotnostnyh prostrans-
tvah ispytani$i (Ω
i
, A
i
, P
i
) i
= 1, . . .
, n
. Ishodom posledova-
tel~nosti n ispytani$i vlets
ω = (
ω
1
,
. . .
, ω
n
), gde
ω
i
—
ishod
i-go ispytani. Mnoestvom vseh takih ishodov vlet-
s dekartovo proizvedenie
Ω
= Ω
1
×···×
Ω
n
. Oboznaqim simvo-
lom A
1
×
A
2
×···×A
n
sobytie, sostowee v tom, qto v pervom
ispytanii proizo$idet sobytie
A
1
, vo vtorom
A
2
i t. d., v
n-m
A
n
. Uslovie nezavisimosti ispytani$i privodit k oprede-
leni verotnosti P
(
A
1
×···×
A
n
)
Q
n
i
=1
P
i
(A
i
)
, kotoroe mono
odnoznaqno prodolit~ na σ
-algebru A , porodennu soby-
timi vida A
1
×···×A
n
. V rezul~tate poluqim matematiqesku
model~ posledovatel~nosti
n nezavisimyh ispytani$i — vero-
tnostnoe prostranstvo
(Ω
,
A , P
), nazyvaemoe proizvedeniem
verotnostnyh prostranstv (Ω
i
,
A
i
, P
i
)
.
Shemo$i Bernulli nazyvaets qastny$i sluqa$i posledova-
tel~nosti nezavisimyh ispytani$i pri Ω
i
= Ω =
{0
,
1
}
,
A
i
=
= P(Ω) =
{∅
,
{
0}
, {1
}
,
Ω}
. Ishody 1 i 0 v kadom ispytanii
nazyvats, sootvetstvenno, ”uspehom” i ”neudaqe$i”, a verot-
nosti p =
P (
{
1}
) i
q = P
(
{0}) = 1 −
p
— verotnostmi uspeha
i neudaqi v odnom ispytanii.
Teorema 3.6. (Formula Bernulli
). Verotnost~ togo, qto v
sheme Bernulli posledovatel~nosti
n
nezavisimyh ispytani$i
budet
m
uspehov, ravna B
(
n, m, p
) = C
m
n
p
m
q
n−m
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
A
m
— interesuwee nas sobytie.
Kady$i ishod ω , blagopritstvuwi$i A
m
, imeet verotnost~
p
m
q
n−
m
. Qislo tih ishodov ravno qislu sposobov vybrat~ m
mest iz n
dl edinic v posledovatel~nosti
ω
(vyborka mest
neupordoqenna i ne dolna imet~ povtoreni$i). Qislo takih
vyborok ravno C
m
n
, a iskoma verotnost~ —
C
m
n
p
m
q
n
−m
.
J
Sledstvie.
Verotnost~ togo, qto qislo uspehov m udovletvo-
ret neravenstvam
06m
1
6
m
6
m
2
6n
, ravna
P
m
2
m=
m
1
C
m
n
p
m
q
n
−
m
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Formula vytekaet iz poparno$i nesovmes-
tnosti sobyti$i
A
m
.
J
82

Страницы