Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Zameqani. 1. Pri
P (
A) 6
= 0
, P (B) 6
= 0
sobyti
A
i
B
nezavisimy togda i tol~ko togda, kogda P
B
(
A
) = P
(A
) i
P
A
(
B
) = P (B
)
, t. e. kogda verotnost~ nastupleni odnogo iz
nih ne zavisit ot togo, proizoxlo ili ne proizoxlo drugoe.
2. Nezavisimost~ vlets matematiqeskim pontiem, otnos-
wims k matematiqesko$i modeli (verotnostnomu prostranstvu)
rassmatrivaemogo sluqa$inogo ksperimenta. Kak pravilo, tu
model~ vybirat tak, qtoby fiziqeski nezavisimye sobyti
byli v to$i modeli nezavisimymi i v verotnostnom smysle.
Teorema 3.4.
(O rasxirenii nezavisimyh mnoestv sobyti$i
)
.
Esli zamknutye otnositel~no koneqnyh pereseqeni$i mnoestva
sobyti$i
C,
D
nezavisimy, to porodennye timi mnoestva-
mi
σ -algebry
S
(D), S
(
C
)
nezavisimy.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
C, C
0
∈
C, D ∈
D
. Po uslovi
C ∩ C
0
i D nezavisimy. Iz ravenstv
P (
C ∩
D) =
P
(
D
\
C
) =
= P
(D) −
P
(
D
∩ C) = P
(D)
−
P (
D)
P
(C) =
P (C)
P (D)
sleduet nezavi-
simost~ C
i
D
. Iz ravenstv
P ((C
∪C
0
)∩
D
) =
P
((C∩
D
)∪(C
0
∩D)) =
= P
(C∩D
)+P
(
C
0
∩D)−P ((C
∩C
0
)∩
D) = P (C
∪
C
0
)P (D)
sleduet nezavi-
simost~
C∪C
0
i D. Takim obrazom, algebra sobyti$i
B
(C
)
i
D
nezavisimy. Pust~ {C
n
}
∞
n
=1
— monotonna posledovatel~nost~
sobyti$i iz B(
C). Iz ravenstv P (D ∩ lim
n
→∞
C
n
) = P ( lim
n
→∞
(D ∩
C
n
)) =
= lim
n
→∞
P
(D
∩ C
n
) =
P
(
D
) lim
n→∞
P (C
n
) = P
(D
)P
( lim
n
→∞
C
n
) sleduet neza-
visimost~
lim
n→∞
C
n
i D
. Znaqit,
S(C)
i
D
nezavisimy. Analo-
giqno dokazyvaets nezavisimost~ S( D
)
i
S(C
)
.
J
Odno$i iz zadaq teorii verotnoste$i vlets vyqislenie
verotnosti sobyti$i, vlwihs funkcimi nezavisimyh soby-
ti$i A
1
, . . .
, A
n
. Esli verotnosti tih sobyti$i udovletvort
uslovim 0<P (A
i
)
<
1, to P
(
T
n
i=1
A
a
i
i
)=
Q
n
i=1
P (
A
a
i
i
)
6=0
dl lbyh
a ∈ B
n
i potomu
T
n
i
=1
A
a
i
i
6= ∅
. Otsda sleduet, qto mnoes-
tvo
A
rassmatrivaemyh funkci$i vlets svobodno$i bulevo$i
algebro$i, izomorfno$i bulevo$i algebre B
(
B
n
)
.
Teorema 3.5 (Verotnost~ funkcii nezavisimyh sobyti$i).
Ve-
rotnost~ funkcii sobyti$i, predstavlenno$i v vide SDNF
f(A
1
, . . .
, A
n
) =
S
a∈{f
=1}
T
n
i=1
A
a
i
i
, gde A
i
— nezavisimye sobyti
s verotnostmi 0<P
(
A
i
)
<1
, mono vyqislit~ po formule
P (
f
(
A
1
,
. . . , A
n
)) =
P
a∈{f=1}
Q
n
i
=1
P
(A
a
i
i
)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku sobyti
T
n
i=1
A
a
i
i
nesovmestny
P
(
f
(
A
1
,
. . .
, A
n
))=
P
a∈{
f=1}
P (
T
n
i=1
A
a
i
i
)=
P
a
∈{f=1}
Q
n
i=1
P (A
a
i
i
)
. J
81

Страницы