Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Sluqa$inye veliqiny i ih raspredeleni
Sluqa$ino$i veliqino$i
ξ
nazyvaets veliqina, poluqaema v
sluqa$inom ksperimente, znaqenie kotoro$i nel~z predskazat~
zaranee. Mono sqitat~, qto kadomu ishodu
ω
ksperimenta
sootvetstvuet vpolne opredelennoe znaqenie sluqa$ino$i veliqi-
ny, t. e.
ξ vlets funkcie$i ishoda ω
, a nepredskazuemost~
znaqeni ξ
(
ω
)
sluqa$ino$i veliqiny ξ obsnets nepredskazu-
emost~ ishoda ω sluqa$inogo ksperimenta. Odnako ne vsku
funkci mono sqitat~ sluqa$ino$i veliqino$i. Funkci
ξ(ω)
vlwas sluqa$ino$i veliqino$i, dolna udovletvort~ dvum
osnovnym trebovanim: a) dl xirokogo klassa podmnoestv
B⊆
R dolna byt~ opredelena verotnost~ sobyti
ξ
−
1
(
B
) —
”znaqenie
ξ
popadaet v podmnoestvo
B
”, b) dl xirokogo
klassa funkci$i
ϕ
:
R →
R funkci
ϕ
(ξ(
ω))
vlets sluqa$ino$i
veliqino$i.
Opredelenie 4.3. (De$istvitel~na sluqa$ina veliqina
). De$istvi-
tel~no$i sluqa$ino$i veliqino$i nazyvaets izmerimoe otobraenie
(Ω
,
A
)
v
(
R
, B), t. e. funkci, pri kotoro$i proobraz izmerimogo
mnoestva (
mnoestva iz
B
)
izmerim (prinadleit A)
.
Zameqanie. V teorii verotnoste$i proobrazy ξ
−
1
(
B
)
kak pra-
vilo oboznaqats predikatami, vydelwimi ih, naprimer:
(ξ
∈ B
),
(
ξ
>
x)
,
(ξ < x
), (a
6
ξ < b
)
, (ξ =
a); v tih oboznaqeni-
h konnkci qasto oboznaqaets zapto$i, naprimer, sobytie
(ξ < x, η < y
) sostoit v tom, qto znaqenie sluqa$ino$i veliqiny
ξ men~xe x i znaqenie sluqa$ino$i veliqiny η
men~xe y
.
Iz opredeleni 4.3 sleduet, qto dl kado$i sluqa$ino$i ve-
liqiny ξ
mono vvesti funkci, sopostavlwu kadomu
borelevskomu mnoestvu
B ∈ B
verotnost~
P (ξ
∈
B).
Teorema 4.2. (Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny). Funkci
P
ξ
(B)
P
(ξ ∈
B
)
vlets odnomernym verotnostnym rasprede-
leniem
(
nazyvaemym raspredeleniem sluqa$ino$i veliqiny ξ).
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz ravenstv
ξ
−
1
(
S
∞
n=1
B
n
) =
S
∞
n
=1
f
−1
(B
n
)
,
ξ
−
1
(
T
∞
n=1
B
n
) =
T
∞
n
=1
ξ
−
1
(B
n
), ξ
−
1
(Y \
Z) =
ξ
−1
(
Y
)
\
ξ
−1
(
Z
)
sleduet,
qto
ξ
−
1
(
∅) = ∅
, ξ
−
1
(R) = Ω i dl lbo$i monotonno$i posledova-
tel~nosti {B
n
}
∞
n
=1
posledovatel~nost~ {
ξ
−
1
(
B
n
)
}
∞
n=1
monotonna,
priqem
ξ
−1
( lim
n→∞
B
n
) = lim
n→∞
ξ
−1
(B
n
). Iz aksiom dl P
sleduet:
1)
P
ξ
(∅
) =
P (∅
) = 0, 2) P
ξ
(R) =
P
(Ω) = 1
, 3) esli
B
∩
C
=
∅
,
86

Страницы