Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 4.3. (
O vyboroqnom metode)
. Raspredelenie sluqa$ino$i
veliqiny η
(
x
) =
x
, opredelenno$i na
(
R,
B, P
ξ
), sovpadaet s P
ξ
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz
η
−1
(B) =
B sleduet P
η
(B) = P
ξ
(
B
)
. J
Teorema 4.3 pozvolet sdelat~ vyvod o tom, qto verot-
nostna informaci o sluqa$ino$i veliqine zaklqena tol~ko v
vyboroqnyh znaqenih to$i sluqa$ino$i veliqiny.
Teorema 4.4.
(
Funkcii sluqa$inyh veliqin
). Borelevskie funkcii
sluqa$inyh veliqin vlts sluqa$inymi veliqinami.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz oprede-
leni borelevskih funkci$i i teoremy
II
.5.1. J
Mono sqitat~, qto vse nepreryvnye i razryvnye funkcii,
vstreqawies v priloenih teorii verotnoste$i, vlts
borelevskimi funkcimi.
Teorema 4.5. (Monotonna funkci sluqa$ino$i veliqiny
). Pust~
ξ — sluqa$ina veliqina,
g :
R
→ R
— strogo monotonna nep-
reryvna funkci i
h — funkci, obratna k
g
. Togda
F
g
(ξ
)
(
x
) =
F
ξ
(
h
(
x)) , esli g vozrastaet
,
1
−
F
ξ
(
h(
x) + 0) , esli
g
ubyvaet
.
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli g
nepreryvna i strogo monotonno
vozrastaet (ubyvaet), to h take nepreryvna i strogo mo-
notonno vozrastaet (ubyvaet) i potomu pri vozrastawe$i
g
F
g(
ξ
)
(x) =
P (
g(ξ
)
< x) = P (h
(
g
(
ξ
)) < h(
x)) =
P
(ξ < h
(x
)) = F
ξ
(h(
x
)),
a pri ubyvawe$i
g F
g
(
ξ
)
(x) =
P (g(
ξ
)
< x
) = P (h
(g(
ξ
)) > h
(x
)) =
= P
(
ξ > h(x)) = 1
− F
ξ
(h
(
x
) + 0)
.
J
Sledstvie.
Esli
g
— differenciruema strogo monotonna fun-
kci i
ξ — nepreryvna sluqa$ina veliqina, to sluqa$ina ve-
liqina g(
ξ) nepreryvna i
f
g(ξ
)
(
x) = f
ξ
(h(x))
|
h
0
(x)|.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Funkci h
tak e kak i
g differenci-
ruema i strogo monotonna. Funkci raspredeleni
F
ξ
(
x) nep-
reryvno$i sluqa$ino$i veliqiny ξ differenciruema. Potomu
F
g
(
ξ)
(x) differenciruema i
f
g
(ξ
)
(x
) = f
ξ
(h(x))
|h
0
(x
)|. J
Esli v uslovih sledstvi funkci
g
nemonotonna, to ob-
ratna funkci ne suwestvuet, no suwestvuet obratnoe ot-
noxenie h, grafik kotorogo vlets obedineniem grafikov
funkci$i
h
i
, obratnyh vetvm monotonnosti funkcii g . V tom
sluqae formula dl plotnosti verotnosti
g
(
ξ)
imeet vid
f
g(
ξ
)
(x
) =
X
i
f
ξ
(
h
i
(
x
))|
h
0
i
(
x
)
|.
88

Страницы