Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 4.7. (
Qastnye raspredeleni dvumernogo raspredeleni)
.
1
. Proekcii
P
x
i
P
y
vlts odnomernymi raspredelenimi,
nazyvaemymi qastnymi raspredelenimi raspredeleni
P
.
2
. Qastnye funkcii raspredeleni F
P x
, F
P y
svzany s
F
P
us-
lovimi soglasovannosti F
P x
(
x) =
F
P
(
x, ∞
)
, F
P y
(y
) =
F
P
(
∞, y).
3
. Esli P diskretno, to qastnye raspredeleni P
x
, P
y
dis-
kretny i qastnye zakony raspredeleni
(
x
j
, p
x
(
x
j
)),
(y
k
, p
y
(y
k
))
svzany s dvumernym zakonom raspredeleni
(
r
i
, p(r
i
))
sootno-
xenimi p
x
(
x
j
) =
P
k
p
(x
j
, y
k
)
, p
y
(y
k
) =
P
j
p(x
j
, y
k
)
, gde
x
j
i y
k
— pervye i vtorye proekcii toqek
r
i
,
p(x
j
, y
k
) =
p(
r
i
) ,
esli (x
j
, y
k
) = r
i
dl nekotorogo
i,
0 , esli
(x
j
, y
k
)
6
= r
i
dl vseh
i.
4
. Esli P nepreryvno, to qastnye raspredeleni P
x
, P
y
nep-
reryvny i qastnye plotnosti verotnosti
f
P x
, f
P y
svzany s
f
P
sootnoxenimi f
P x
(
x
) =
R
∞
−∞
f
P
(x, y)dy, f
P y
(y
) =
R
∞
−∞
f
P
(x, y
)
dx.
D o k a z a t e l ~ s t v o .
1.
Analogiqno dokazatel~stvu teoremy 4.2.
2. Pervoe iz uslovi$i soglasovannosti sleduet iz ravenstv
F
P x
(
x
) = P
x
((−∞, x
)) =
P ((−∞
, x
)×R
) = P ( lim
n
→∞
((
−∞, x
)×(−∞, n
))) =
= lim
n
→∞
P ((−∞, x
)×(−∞
, n)) = lim
n→∞
F
P
(x, n) = F
P
(x, ∞). Vtoroe uslo-
vie soglasovannosti dokazyvaets analogiqno.
3. Sleduet iz opredeleni proekci$i dvumernogo raspredeleni.
4. Formula dl f
P x
sleduet iz ravenstv f
P x
(x) =
dF
P x
(x
)
dx
=
=
dF
P
(x,
∞)
dx
=
d
dx
Z
x
−∞
Z
∞
−∞
f
P
(x
1
, y)
dy
dx
1
=
Z
∞
−∞
f
P
(x, y)dy .
Formula dl
f
P y
dokazyvaets analogiqno. J
Zameqanie.
Zakon dvumernogo diskretnogo raspredeleni udob-
no zadavat~ v vide sleduwe$i tablicy:
Dvumerny$i zakon raspredeleni
x
j
\
y
k
y
1
. . . y
k
. . . y
n
p
x
x
1
p
(
x
1
, y
1
)
. . . p
(
x
1
, y
k
)
. . . p
(
x
1
, y
k
)
p
x
(x
1
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
j
p(x
j
, y
1
)
. . . p(x
j
, y
k
)
. . . p(x
j
, y
k
)
p
x
(x
j
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
m
p(
x
m
, y
1
) . . . p(
x
m
, y
k
) . . . p(
x
m
, y
n
) p
x
(x
m
)
p
y
p
y
(
y
1
) . . . p
y
(
y
k
) . . . p
y
(
y
n
)
.
Po teoreme 4.7 verotnosti, vhodwie v pervy$i i vtoro$i qas-
tnye zakony raspredeleni, poluqats summirovaniem verot-
noste$i, sootvetstvenno, v strokah i stolbcah to$i tablicy.
90

Страницы