Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Opredelenie 4.4. (
Dvumernye momenty)
. Pust~ P — diskret-
noe ili nepreryvnoe dvumernoe raspredelenie, r, s ∈ N
. Naqal~nym
momentom pordka
r +
s
raspredeleni P nazyvaets
α
rs
=
X
j
X
k
x
r
j
y
s
k
p
(x
j
, y
k
), esli
P
diskretno
,
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
x
r
y
s
f
P
(x, y)dxdy,
esli P
nepreryvno
.
Central~nym momentom pordka
r
+
s
raspredeleni P
nazyvaets
µ
rs
=
X
j
X
k
(
x
j
−
m
x
)
r
(y
k
− m
y
)
s
p
(
x
j
, y
k
)
, esli
P diskretno
,
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
(x − m
x
)
r
(y − m
y
)
s
f
P
(
x, y
)dxdy,
esli
P
nepreryvno
.
Moment µ
11
nazyvaets kovariacie$i raspredeleni
P , a veliqi-
na
r
=
µ
11
σ
x
σ
y
— kofficientom korrelcii.
Qitatel rekomenduets dokazat~ formuly: α
r0
= α
r
(
P
x
)
,
α
0
s
=
α
s
(
P
y
), µ
r
0
=
µ
r
(
P
x
)
, µ
0s
=
µ
s
(
P
y
), µ
11
= α
11
−
m
x
m
y
.
Rassmotrim odnomernye raspredeleni, poluqawies iz
dvumernogo raspredeleni
P
perehodom k uslovnym verotnos-
tm. Pust~
P
x
(
A
)
6= 0, P
y
(B
) 6= 0
. Opredelim uslovnye verotnosti
P
x
(A|B)
P
R×B
(A
×
R
)=
P (
A
×
B)
P
y
(
B
)
, P
y
(B|
A
)
P
A×R
(
R×B
)=
P (A×B
)
P
x
(
A
)
.
Mono pokazat~, qto P
x
(A|
B
), P
y
(
B|
A), rassmatrivaemye kak
funkcii pervogo argumenta, vlts odnomernymi raspredele-
nimi. Opredelim funkcii P
x
(
A
|
y
), P
y
(
B|
x) sootnoxenimi
P
x
(A
|
y
)
lim
∆y →0
∆
y>
0
P
x
(
A|[
y, y
+ ∆
y
)), P
y
(B|x)
lim
∆
x
→0
∆
x>0
P
y
(B|[
x, x + ∆x
)).
Teorema 4.8. (Uslovnye raspredeleni dvumernogo raspredeleni
)
.
1. Funkcii P
x
(
A|
y)
i
P
y
(
B
|x
)
vlts odnomernymi rasprede-
lenimi, nazyvaemymi uslovnymi raspredelenimi.
2
. Esli P diskretno, to uslovnye raspredeleni diskretny i
ih zakony raspredeleni
(
x
j
, p
x
(x
j
|
y
k
))
,
(y
k
, p
y
(y
k
|
x
j
))
svzany s
dvumernym i qastnymi zakonami raspredeleni sootnoxenimi
p
x
(x
j
|
y
k
) =
p
(
x
j
, y
k
)
p
y
(y
k
)
, p
y
(
y
k
|x
j
) =
p
(x
j
, y
k
)
p
x
(x
j
)
.
3. Esli P nepreryvno, to uslovnye raspredeleni nepreryvny i
ih plotnosti verotnosti f
P x
(x
|y), f
P y
(
y|x
)
svzany s dvumer-
no$i i qastnymi plotnostmi verotnosti sootnoxenimi
f
P x
(x|
y
) =
f
P
(x, y
)
f
P y
(
y)
, f
P y
(
y
|
x) =
f
P
(x, y
)
f
P x
(
x)
.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
91

Страницы