Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4.3. Mnogomernye raspredeleni i ih harakteristiki
V tom razdele budut rasmatrivat~s v osnovnom dvumernye
raspredeleni.
Teorema 4.6.
(
Svo$istva dvumernyh raspredeleni$i
). Pust~ P —
dvumernoe raspredelenie. Togda
1
. P ([x
1
;
x
2
)
×
(
−∞
;
y
)) = F
P
(x
2
, y) − F
P
(
x
1
, y).
2
. P
((
−∞;
x
)×
[y
1
; y
2
)) =
F
P
(x, y
2
) −
F
P
(x, y
1
)
.
3. P
([x
1
;
x
2
)
×
[y
1
;
y
2
)) = F
P
(
x
2
, y
2
) −F
P
(
x
1
, y
2
)
− F
P
(
x
2
, y
1
) +
F
P
(
x
1
, y
1
)
.
4. F
P
(
x, y
)
— neubyvawa funkci argumentov x, y
.
5. F
P
(
−∞, y) = F
P
(x, −∞
) = F
P
(−∞, −∞) = 0
.
6
. F
P
(∞
,
∞
) = 1.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Ravenstva 1 — 3 sledut iz ravenstv
[x
1
;
x
2
)
×(
−∞;
y) =
(
−∞
;
x
2
)
×
(
−∞; y)
\
(−∞
;
x
1
)
×(−∞
;
y
)
,
(
−∞
; x)
×[
y
1
;
y
2
) =
(−∞; x)×
(−∞;
y
2
)
\
(−∞;
x
)
×(−∞;
y
1
)
,
[x
1
; x
2
)
×
[y
1
; y
2
) =
[x
1
;
x
2
)×
(−∞;
y
2
)
\
[
x
1
;
x
2
)
×
(−∞
; y
1
)
i svo$istva 1 verotnosti. Svo$istvo 4 sleduet iz svo$istv 1, 2.
Svo$istva 5, 6 sledut iz aksiomy 4 i ravenstv lim
n
→∞
(
−∞;
−
n)
×
×
(−∞;
y
) = lim
n
→∞
(−∞; x
)×(−∞; −n) = lim
n
→∞
(
−∞;
−n)
×(
−∞;
−n
) =
∅
,
lim
n→∞
(−∞
;
n)×
(
−∞;
n
) = R
2
. J
Funkci dvumernogo raspredeleni v diskretnom i nepre-
ryvnom sluqae mono predstavit~ formulami
F
P
(
x, y
) =
X
x
i
<x, y
i
<y
p(r
i
)
,
esli
P
diskretno
,
Z
x
−∞
Z
y
−∞
f
P
(
x
1
, y
1
)dx
1
dy
1
,
esli
P
nepreryvno,
gde
r
i
= (x
i
, y
i
)
. Netrudno dokazat~ obratnye sootnoxeni
p(
r
i
) =
F
P
(x
i
+ 0
, y
i
+ 0)
−
F
P
(x
i
+ 0, y
i
) − F
P
(
x
i
, y
i
+ 0) +
F
P
(x
i
, y
i
)
,
f
P
(
x, y) =
∂
2
F
P
(x, y
)
∂x ∂y
.
Iz dvumernogo raspredeleni mono razliqnymi sposobami
poluqit~ odnomernye. Odin iz sposobov zaklqaets v ”pro-
ektirovanii” raspredeleni na osi koordinat. Podmnoestva
A×R i
R
×B
prostranstva R
2
nazyvats prmougol~nikami
s osnovaniem A na osi x i osnovaniem
B
na osi y
, soot-
vetstvenno.
Proekcimi raspredeleni P na osi koordinat x, y
nazyvats funkcii
P
x
(
A)
P (A×R
)
, P
y
(B)
P (
R
×
B)
,
sopostavlwie verotnost~ prmougol~nikov ih osnovanim.
89

Страницы