Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sledstvie. p
(x
j
, y
k
) =
p
x
(x
j
)
p
y
(
y
k
|x
j
) = p
y
(
y
k
)p
x
(
x
j
|
y
k
),
f
P
(x, y
) = f
P x
(
x)f
P y
(y
|
x) =
f
P y
(y)f
P x
(
x
|y).
Opredelenie 4.5. (
Proizvedenie raspredeleni$i)
. Dvumernoe ras-
predelenie P nazyvaets proizvedeniem qastnyh raspredeleni$i
(
simvoliqeski P =
P
x
×P
y
), esli P
(
A×
B
) =
P
x
(
A
)P
y
(B)
dl vseh
A
∈
B, B
∈ B
.
Teorema 4.9.
(
O proizvedenii raspredeleni$i)
. P
=
P
x
×P
y
togda
i tol~ko togda, kogda
F
P
(
x, y) = F
P x
(x)
F
P y
(
y).
Sledstvie 1.
Diskretnoe raspredelenie P =
P
x
×
P
y
togda i
tol~ko togda, kogda p
(
x
j
, y
k
) = p
x
(
x
j
)
p
y
(y
k
)
.
Sledstvie 2. Nepreryvnoe raspredelenie P
=
P
x
×P
y
togda i
tol~ko togda, kogda f
P
(x, y) = f
P x
(
x
)f
P y
(y)
.
Sledstvie 3. Esli P
= P
x
×P
y
, to
α
rs
(
P ) = α
r
(
P
x
)α
s
(
P
y
)
,
µ
rs
(P
) =
µ
r
(
P
x
)µ
s
(P
y
), P
x
(A
|
y
) =
P
x
(
A), P
y
(
B
|x) = P
y
(
B)
.
Opredelenie 4.6. (Dvumernoe normal~noe raspredelenie)
. Dvu-
mernym normal~nym nazyvaets raspredelenie
P s plotnost~
f
P
(x, y) = k
·
exp
"
−
(x
−
m
x
)
2
− 2σ
x
σ
y
ρ(x
− m
x
)(y − m
y
) + (y −
m
y
)
2
2σ
2
x
σ
2
y
(1 −
ρ
2
)
#
,
gde k
=
2πσ
x
σ
y
p
1
− ρ
2
−1
, σ
x
> 0, σ
y
>
0
, |ρ
|
<
1
.
Teorema 4.10. (Svo$istva dvumernogo normal~nogo raspredeleni
)
.
Qastnye i uslovnye plotnosti dvumernogo normal~nogo raspre-
deleni P
normal~ny
: f
P x
(
x) = n(
x
|
m
x
, D
x
)
, f
P y
(y
) = n(x|
m
y
, D
y
)
,
f
P x
(
x
|y
) = n(x|m
x
|
y
, D
x|
y
), f
P y
(
y
|
x) = n(
y
|m
y
|x
, D
y
|x
), gde uslovnye
srednie
m
x
|y
, m
y|x
i uslovnye dispersii
D
x|
y
, D
y|
x
ravny
:
m
x|
y
=
m
x
+ ρ
σ
x
σ
y
(y − m
y
), D
x|
y
= D
x
(1 − ρ
2
)
m
y
|
x
= m
y
+ ρ
σ
y
σ
x
(x
− m
x
), D
y|x
= D
y
(1 −
ρ
2
).
Kovariaci i kofficient korrelcii ravny
µ
11
=
ρσ
x
σ
y
, r
=
ρ
.
P
=
P
x
×
P
y
togda i tol~ko togda, kogda ρ = 0.
Osnovatel~noe izuqenie mnogomernyh raspredeleni$i umestno
pri vtorom cikle izuqeni teorii verotnoste$i. Zdes~ e my
rassmotrim tol~ko mnogomernoe normal~noe raspredelenie.
Opredelenie 4.7. (
Mnogomernoe normal~noe raspredelenie
).
p
-mernoe normal~noe raspredelenie est~ raspredelenie s plot-
nost~
n
p
(
x|
m
, A
−1
) = (2π
)
−
p/2
p
|A|
exp
h
−
1
2
(
x − m
)
T
A
(x
−
m)
i
,
gde x
, m
—
p-komponentnye vektory-stolbcy, A — simmet-
riqna poloitel~no opredelenna matrica pordka
p
.
92

Страницы