Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5. Matematiqeskoe oidanie
Pust~
L oboznaqaet mnoestvo ograniqennyh sluqa$inyh ve-
liqin. Iz teoremy 2.5.3 vytekaet sleduwee utverdenie.
Teorema 5.1.
(
Svo$istva mnoestva L
).
1
. Mnoestvo
L v-
lets de$istvitel~nym line$inym prostranstvom otnositel~no
obyqnogo sloeni funkci$i i umnoeni na skalr, t. e. vmes-
te s lbymi sluqa$inymi veliqinami
ξ, η v
L soderats
sluqa$inye veliqiny
aξ
+ bη pri vseh a, b iz
R.
2
. V
L
opredeleny obyqnye neravenstva dl de$istvitel~nyh
funkci$i. Otnoxenie
6 svzano so sloeniem i umnoeniem na
skalr uslovimi: ξ6η
vleqet
ξ + ζ
6
η + ζ
dl lbogo ζ ∈ L
,
ξ > 0
vleqet aξ >
0 dl lbogo
a > 0.
3
. Dl kado$i sluqa$ino$i veliqiny
ξ
suwestvuet ee poloi-
tel~na qast~
ξ
+
= max
{ξ, 0
}
i otricatel~na qast~
ξ
−
=
ξ
+
−ξ
.
Zameqanie. Oqevidno,
ξ
+
>0, ξ
−
>0.
Soglasno statistiqeskomu opredeleni matematiqeskim oi-
daniem sluqa$ino$i veliqiny ξ nazyvaets qislo
Mξ , k ko-
toromu stremits srednee arifmetiqeskoe N znaqeni$i to$i
sluqa$ino$i veliqiny pri N
→ ∞. Opredelim matematiqeskoe
oidanie aksiomatiqeski, vklqa v qislo aksiom svo$istva
srednego arifmetiqeskogo.
Opredelenie 5.1. (Matematiqeskoe oidanie). Matematiqes-
kim oidaniem na
L nazyvaets funkcional
M, oboznaqaemy$i
take simvolom
R
ξdP i nazyvaemy$i integralom funkcii ξ po
mere
P,
udovletvorwi$i uslovim
:
1) M(aξ + bη
) = aMξ +
bMη (line$inost~);
2) esli
ξ>
0, to Mξ
>
0 (
poloitel~nost~);
3)
dl vsko$i monotonno ubyvawe$i posledovatel~nosti {
ξ
n
}
∞
n=1
iz lim
n→∞
ξ
n
= 0
sleduet lim
n→∞
Mξ
n
= 0 (
nepreryvnost~
);
4)
dl vskogo A ∈
A MI
A
=
P (A
).
Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$i neotricatel~no$i
sluqa$ino$i veliqiny ξ
(vozmono ravnoe
∞) opredelets kak
Mξ
lim
n
→∞
Mξ
n
, gde {
ξ
n
}
∞
n
=1
— monotonno vozrastawa pos-
ledovatel~nost~ ograniqennyh sluqa$inyh veliqin, shodwas
k
ξ . Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$i sluqa$ino$i ve-
liqiny
ξ
, prinimawe$i znaqeni oboih znakov, opredelets
formulo$i Mξ
Mξ
+
−Mξ
−
v tom sluqae, kogda ili
Mξ
+
<
∞,
95

Страницы