Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ili Mξ
−
< ∞. Pri Mξ
+
=
Mξ
−
= ∞
matematiqeskoe oidanie
Mξ
ne suwestvuet. Matematiqeskoe oidanie kompleksnyh slu-
qa$inyh veliqin vida
ξ
+
iη
, gde
ξ i
η — de$istvitel~nye slu-
qa$inye veliqiny, opredelets formulo$i M
(ξ
+ iη
)
Mξ
+
iMη .
V sleduwem utverdenii privodts formuly dl vyqis-
leni matematiqeskogo oidani borelevskih funkci$i diskret-
nyh i nepreryvnyh sluqa$inyh veliqin.
Teorema 5.2. (
Vyqislenie matematiqeskogo oidani
)
. Esli ξ
— sluqa$ina veliqina, ϕ : R →
R
— borelevska funkci, to
Mϕ(
ξ
) =
X
i
ϕ
(
x
i
)p
ξ
(x
i
) ,
esli ξ diskretna,
Z
∞
−∞
ϕ
(
x)
f
ξ
(
x)dx , esli
ξ nepreryvna,
v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut.
Esli
(ξ, η
)
— sluqa$iny$i vektor,
ψ
: R
2
→ R — borelevska
funkci, to
Mψ
(ξ, η
) =
X
j
X
k
ψ
(
x
j
, y
k
)p
ξη
(
x
j
, y
k
)
,
esli (
ξ, η) diskreten
,
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
ψ
(x, y
)f
ξη
(
x, y
)
dxdy , esli (ξ, η
)
nepreryven,
v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim dokazatel~stva dl nekotoryh
qastnyh sluqaev.
Esli ξ
— diskretna sluqa$ina veliqina, prinimawa
razliqnye znaqeni x
1
,
. . . , x
n
, to
ϕ(
ξ
) mono predstavit~ v
vide
ϕ
(
ξ(ω
)) =
P
n
i
=1
ϕ
(x
i
)
I
(
ξ
=x
i
)
(
ω)
. Uqityva svo$istvo line$inos-
ti matematiqeskogo oidani, poluqim Mϕ(
ξ) =
P
n
i
=1
ϕ
(
x
i
)
p
ξ
(
x
i
)
.
Pust~
ξ
— nepreryvna sluqa$ina veliqina s plotnost~
verotnosti f
ξ
(
x
)
, ravno$i 0 vne
[
a, b
]
; ϕ
— monotonno vozras-
tawa na [a, b
]
nepreryvna funkci; otrezok
[
a, b
] razbit na
n qaste$i toqkami a = x
0
< x
1
<
. . . < x
i−
1
< x
i
<
. . . < x
n
=
b.
Funkci η
n
(ω
) =
P
n
i=1
ϕ(x
i
−1
)
I
(x
i
−
1
6ξ<x
i
)
(ω)
vlets diskretno$i
sluqa$ino$i veliqino$i i Mη
n
=
P
n
i=1
ϕ(
x
i−1
)(
F
ξ
(x
i
) −
F
ξ
(
x
i−
1
))
.
Pri vseh
n
spravedlivo neravenstvo
η
n
6
ϕ
(
ξ
), a sluqa$i-
na veliqina η
n
+1
, poluqaema posredstvom dobavleni no-
vo$i toqki razbieni otrezka
[a, b], udovletvoret neravens-
tvam
η
n
6
η
n+1
6ϕ
(ξ
)
. Dobavl novye toqki razbieni, tak qto
lim
n→∞
(max(
x
i
−
x
i−1
)) = 0, poluqim monotonno vozrastawu pos-
ledovatel~nost~
{η
n
}
∞
n=1
, shodwus k ϕ
(
ξ
). Iz ravenstva
96

Страницы