Электричество и магнетизм. - 12 стр.

                                             13

                           r        ⎛ 1 q r⎞
                           F = qпр ⎜⎜           r ⎟⎟
                                    ⎝ 4πε 0 r 3
                                                   ⎠
                                                     Пусть заряд qпр пе-
                    dr        F                ремещается из точки 1 в
                            α                  точку 2 по произвольно-
                           dl                  му пути 12 (рис.1.8). Ра-
     1                                         бота δА, совершаемая си-
                r                      2       лами поля при перемеще-
       r1                                      нии qпр на   dl
                                                            r равна
                       r2                              ( r
                                                           )
                                                  δА = F , dl = Fdl cos α .
                                                     Но dlcosα=dr − из-
    q            Рис.1.8                       менение расстояния от qпр
                                               до q при перемещении на
dl, следовательно, δА=Fdr. Полная работа при перемещении qпр
из точки 1 в точку 2 будет
                 2        qqпр r2 dr qqпр ⎛ 1 1 ⎞
           А12 = ∫ Fdr =        ∫ 2=         ⎜⎜ − ⎟⎟ .                (1.11)
                 1        4πε 0 r1 r   4πε 0 ⎝ 1r   r2 ⎠

      Получили, что А12 не зависит от формы траектории, а зави-
сит только от начального и конечного положения заряда qпр. Это
означает, что центральное кулоновское поле является потенци-
альным (консервативным).
      В курсе “Механика” показывалось, что для любого потен-
циального поля выполняется условие r r
                               ∫ , dl = 0
                                   F     (        )
                                     L
для любого замкнутого контура L (такой интеграл называется
циркуляцией). После деления
                          r данного    выражения на qпр, получим
                                 (           )
                               r
                        ∫ Е , dl = 0 .                      (1.12)
                             L
     Циркуляция вектора напряженности электрического поля
точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю.
     На основании принципа суперпозиции из консервативности
поля точечного заряда следует консервативность произвольного
электрического поля.