Электричество и магнетизм. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Рубрика: 

10
)z,y,x(
1
z
E
y
E
x
E
0
z
y
x
ρ
ε
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
или,
)z,y,x(
1
Ediv
0
ρ
ε
=
r
(1.6)
где введено обозначение
z
E
y
E
x
E
Ediv
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
.
Соотношение (1.6) называется формулой Пуассона.
1.4. Применение теоремы Гаусса
Введем следующие обозначения:
dS
dq
S
q
lim
S
==
∞→
Δ
Δ
σ
Δ
− поверхностная плотность заряда,
Δ
q−заряд на элементе поверхности
Δ
S;
dl
dq
l
q
lim
l
==
∞→
Δ
Δ
λ
Δ
− линейная плотность заряда,
Δ
q−заряд на
линейном участке длиной
Δ
l;
dV
dq
V
q
lim
V
==
∞→
Δ
Δ
ρ
Δ
− объемная плотность заряда,
Δ
q−заряд,
заключенный внутри объема
Δ
V.
С учетом определения
ρ теорему Гаусса можно сформули-
ровать в следующем виде
∫∫ ∫∫∫
=
SV
0
n
dV
1
dSЕ
ρ
ε
(1.7)
а). Поле тонкой бесконечно длинной прямой нити, несущей
заряд с линейной плотностью
λ.
В качестве гауссовой поверхности возьмем цилиндр с ра-
диусом
r и высотой h, ось которого совпадает с заряженной ни-
тью.
Всю поверхность цилиндра разобьем на три части:
S
1
и S
2
−
поверхности торцов и
S
бок
− боковая поверхность. В силу сим-
метрии в любой точке поверхности
S вектор Е должен быть пер-
пендикулярен заряженной нити и, кроме того, на боковой по-
верхности Е должен быть постоянен по модулю. Выберем произ-
вольные точки на поверхностях
S
1
, S
2
и S
бок
, вектора n
1
, n
2
, n
3
и 
                                  10

    ∂E x ∂E y ∂E z 1                         r 1
        +    +     = ρ ( x , y , z ) или, divE = ρ ( x , y , z )   (1.6)
     ∂x   ∂y   ∂z ε 0                           ε0
где введено обозначение
                       r ∂E ∂E ∂E
                    divE = x + y + z .
                           ∂x        ∂y   ∂z
      Соотношение (1.6) называется формулой Пуассона.
                1.4. Применение теоремы Гаусса
     Введем следующие обозначения:
                Δq dq
     σ = lim        =     −   поверхностная      плотность заряда,
          ΔS →∞ ΔS    dS
Δq−заряд на элементе поверхности ΔS;
               Δq dq
     λ = lim       =     − линейная плотность заряда, Δq−заряд на
         Δl →∞ Δl     dl
линейном участке длиной Δl;
                Δq dq
     ρ = lim        =      − объемная плотность заряда, Δq−заряд,
          ΔV →∞ ΔV     dV
заключенный внутри объема ΔV.
     С учетом определения ρ теорему Гаусса можно сформули-
ровать в следующем виде
                                       1
                             ∫∫ n
                               Е  dS =   ∫∫∫ ρdV             (1.7)
                            S          ε0   V

     а). Поле тонкой бесконечно длинной прямой нити, несущей
заряд с линейной плотностью λ.
     В качестве гауссовой поверхности возьмем цилиндр с ра-
диусом r и высотой h, ось которого совпадает с заряженной ни-
тью.
     Всю поверхность цилиндра разобьем на три части: S1 и S2 −
поверхности торцов и Sбок − боковая поверхность. В силу сим-
метрии в любой точке поверхности S вектор Е должен быть пер-
пендикулярен заряженной нити и, кроме того, на боковой по-
верхности Е должен быть постоянен по модулю. Выберем произ-
вольные точки на поверхностях S1, S2 и Sбок, вектора n1, n2, n3 и

Страницы