Элементы дифференциального исчисления. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Производная и её свойства
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a, b) и x
0
— точка этого
интервала. Пусть ∆x — такая величина, что x
0
± ∆x ∈ (a, b), и ∆y = f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
). Если
существует предел
lim
∆x→0
∆y
∆x
, (1)
то он называется производной функции f в точке x
0
.
Если рассматривать предел (1) при ∆x → 0+, то говорят о производной справа, а при ∆x →
0− — о производной слева.
Существует несколько способов обозначения производной:
dy
dx
,
df(x
0
)
dx
, y
′
, f
′
(x
0
),
˙
f(x
0
).
Последнее употребляется обычно в тех случаях, когда аргумент функции f имеет физический
смысл времени.
Предложение 1 (формула для приращения). Если функция имеет в точке x
0
конечную про-
изводную, то её приращение в этой точке может быть записано в виде
∆y = y
′
· ∆x + α ·∆x, (2)
где α = α(∆x) и lim
∆x→0
α = 0.
Предложение 2 (непрерывность). Если функция имеет в точке конечную производную, то
она непрерывна в этой точке.
Механический смысл производной. Если материальная точка за время t проходит путь s =
s(t), то её скорость в момент времени t
0
есть ˙s(t
0
). Если зависимость скорости точки от времени
описывается функцией v = v(t), то её ускорение в момент t
0
есть ˙v(t
0
).
Геометрический смысл производной. Производная функции y = f(x) в точке x
0
равна тан-
генсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Основные свойства производной.
Предложение 3 (производные арифметических выражений). Пусть функции y = f(x) и y =
g(x) имеют конечные производные в точке x
0
. Тогда функции f ±g и f ·g также имеют конечные
производные в этой точке и
(f ± g)
′
= f
′
± g
′
, (3)
(f · g)
′
= f
′
· g + f · g
′
. (4)
Если производная функции g отлична от нуля, то отношение
f
g
также имеет конечную производ-
ную и
f
g
′
=
f
′
· g − f · g
′
g
2
. (5)
Предложение 4 (производная сложной функции). Пусть:
1) функция y = f(x) имеет конечную производную в точке x
0
;
1
              ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ




  1. Производная и её свойства
  Определение 1. Пусть функция y = f (x) определена в интервале (a, b) и x0 — точка этого
интервала. Пусть ∆x — такая величина, что x0 ± ∆x ∈ (a, b), и ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). Если
существует предел
                                             ∆y
                                         lim ∆x ,                                           (1)
                                             ∆x→0
то он называется производной функции f в точке x0 .
  Если рассматривать предел (1) при ∆x → 0+, то говорят о производной справа, а при ∆x →
0− — о производной слева.
  Существует несколько способов обозначения производной:
                            dy     df (x0 )
                               ,            , y ′ , f ′ (x0 ), f˙(x0 ).
                            dx       dx
Последнее употребляется обычно в тех случаях, когда аргумент функции f имеет физический
смысл времени.
  Предложение 1 (формула для приращения). Если функция имеет в точке x0 конечную про-
изводную, то её приращение в этой точке может быть записано в виде
                                     ∆y = y ′ · ∆x + α · ∆x,                                        (2)
где α = α(∆x) и lim α = 0.
                ∆x→0

  Предложение 2 (непрерывность). Если функция имеет в точке конечную производную, то
она непрерывна в этой точке.

Механический смысл производной. Если материальная точка за время t проходит путь s =
s(t), то её скорость в момент времени t0 есть ṡ(t0 ). Если зависимость скорости точки от времени
описывается функцией v = v(t), то её ускорение в момент t0 есть v̇(t0 ).

Геометрический смысл производной. Производная функции y = f (x) в точке x0 равна тан-
генсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Основные свойства производной.
  Предложение 3 (производные арифметических выражений). Пусть функции y = f (x) и y =
g(x) имеют конечные производные в точке x0 . Тогда функции f ± g и f · g также имеют конечные
производные в этой точке и
                                        (f ± g)′ = f ′ ± g′ ,                                       (3)
                                     (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ .                                  (4)
                                                                     f
Если производная функции g отлична от нуля, то отношение             g   также имеет конечную производ-
ную и                              ′
                                    f      f ′ · g − f · g′
                                        =                   .                                       (5)
                                    g              g2
  Предложение 4 (производная сложной функции). Пусть:
   1) функция y = f (x) имеет конечную производную в точке x0 ;
                                                  1

Страницы