Элементы дифференциального исчисления. - 5 стр.

                            ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ                          5

Тогда существует такая точка c ∈ (a, b), что выполнено равенство
                                        f (b) − f (a)
                                                      = f ′ (c).                        (37)
                                            b−a
  Теорема 5 (теорема Коши). Пусть функции y = f (x) и y = g(x):
   1) определены и непрерывны на отрезке [a, b];
   2) дифференцируемы во всех точках интервала (a, b);
   3) g′ (x) 6= 0 для любой точки x ∈ (a, b).
Тогда существует такая точка c ∈ (a, b), что
                                        f (b) − f (a)  f ′ (c)
                                                      = ′ .                             (38)
                                        g(b) − g(a)    g (c)
  Равенство (38) называется формулой Коши.
                        2
Теоремы Лопиталя.
  Теорема 6 (первое правило Лопиталя). Пусть:
   1) функции y = f (x) и y = g(x) определены в полуинтервале (a, b];
   2) lim f (x) = lim g(x) = 0;
        x→a      x→a
   3) существуют конечные производные f ′ (x) и g′ (x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
      чём g′ (x) 6= 0;
                                                           ′ (x)
   4) существует (конечный или бесконечный) предел lim fg′ (x)   .
                                                                  x→a
Тогда
                                                              ′
                                         lim f (x) = lim fg′ (x)
                                                             (x)
                                                                 .                      (39)
                                         x→a g(x)       x→a

  Этой теореме аналогична другая:
  Теорема 7. Пусть:
   1) функции y = f (x) и y = g(x) определены в полуинтервале [a, +∞);
   2) lim f (x) = lim g(x) = 0;
        x→+∞       x→+∞
   3) существуют конечные производные f ′ (x) и g′ (x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
      чём g′ (x) 6= 0;
                                                             ′ (x)
   4) существует (конечный или бесконечный) предел lim fg′ (x)     .
                                                                  x→+∞
Тогда
                                           f (x)             f ′ (x)
                                        lim          = lim           .                  (40)
                                                        x→+∞ g (x)
                                                               ′
                                      x→+∞ g(x)

  Теорема 8 (второе правило Лопиталя). Пусть:
   1) функции y = f (x) и y = g(x) определены в полуинтервале (a, b];
   2) lim f (x) = lim g(x) = ∞;
        x→a      x→a
   3) существуют конечные производные f ′ (x) и g′ (x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
      чём g′ (x) 6= 0;
                                                           ′ (x)
   4) существует (конечный или бесконечный) предел lim fg′ (x)   .
                                                                  x→a
Тогда
                                                              ′
                                         lim f (x)             (x)
                                                     = lim fg′ (x) .                    (41)
                                         x→a g(x)       x→a

  Этой теореме аналогична другая:
  Теорема 9. Пусть:
   1) функции y = f (x) и y = g(x) определены в полуинтервале [a, +∞);
  2На самом деле, эти теоремы принадлежат Иоганну Бернулли!