Элементы дифференциального исчисления. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 7
7. Исследование функций и построение графиков
Для исследование произвольной
4
функции и построения её графика рекомендуется выполнить
следующие шаги:
1) Найти область определения и область допустимых значений функции.
2) Исследовать функцию на чётность и нечётность
5
.
3) Исследовать функцию на периодичность
6
.
4) Найти узловые точки графика.
5) Исследовать поведение функции вблизи узловых точек, а также при стремлении аргумента
к плюс и минус бесконечности.
6) Исследовать поведение функции между узловыми точками.
Узловые точки. К узловым точкам графика функции относятся:
1) Точки пересечения графика с осью абсцисс
7
.
2) Точки разрывов.
3) Точки экстремумов.
4) Точки перегиба.
Пересечение с осью абсцисс. Точки пересечения графика функции с осью абсцисс (нули функ-
ции) находятся из условия
f(x) = 0.
Для каждой такой точки необходимо определить, меняет в ней функция знак или нет.
Пересечение с осью ординат — это точка (0, f(0)).
Точки разрывов. Для каждой точки разрыва x
0
необходимо выяснить:
1) Определена ли функция в этой точке.
2) Существуют ли пределы lim
x→x
0
+
f(x) и lim
x→x
0
−
f(x) (то есть относится разрыв к первому или
второму роду) и, если существуют, вычислить их.
3) Меняет ли функция знак при переходе через точку разрыва, если этот вопрос имеет смысл
для данной точки.
Замечание 1. Такой вопрос, например, не имеет смысла для функции y = sin
1
x
в точке x = 0.
Для некоторых точек разрыва второго рода можно ввести понятие вертикальной асимтоты
8
.
Определение 4. Прямая x = x
0
называется вертикальной асимптотой графика функции y =
f(x), если хотя бы один из пределов lim
x→x
0
±
f(x) равен плюс или минус бесконечности.
Экстремумы.
Определение 5. Говорят, что функция y = f(x) достигает в точке x
0
локального минимума
(максимума), если существует такой интервал (a, b) ∋ x
0
, что f(x
0
) < f (x) (f (x
0
) > f (x)) для
любой точки x ∈ (b, c).
Точки локальных минимумов или максимумов называются экстремумами
9
.
Для нахождения экстремальных точек пользуются следующим результатом.
4
На самом деле, функц ии, встречающиеся в заданиях, являются бесконечно дифференцируемыми всюду, кроме
конечного числа точек.
5
Напомним, что функция y = f (x) называется чётной, если f(−x) = f(x), и нечётной, если f (− x) = −f(x) для
любой точки x из области определ ения.
6
Напомним, что функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число T , что f (x+T ) = f (x)
для любого x.
7
Полезно также найти точку пересечения с осью ординат.
8
В слове «ас´имптота» ударение ставится на втором слоге.
9
Экстр´емум — ударение на втором слоге.
                             ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ                                             7

  7. Исследование функций и построение графиков
  Для исследование произвольной4 функции и построения её графика рекомендуется выполнить
следующие шаги:
   1) Найти область определения и область допустимых значений функции.
   2) Исследовать функцию на чётность и нечётность5.
   3) Исследовать функцию на периодичность6.
   4) Найти узловые точки графика.
   5) Исследовать поведение функции вблизи узловых точек, а также при стремлении аргумента
      к плюс и минус бесконечности.
   6) Исследовать поведение функции между узловыми точками.
Узловые точки. К узловым точкам графика функции относятся:
  1) Точки пересечения графика с осью абсцисс7.
  2) Точки разрывов.
  3) Точки экстремумов.
  4) Точки перегиба.

Пересечение с осью абсцисс. Точки пересечения графика функции с осью абсцисс (нули функ-
ции) находятся из условия
                                         f (x) = 0.
Для каждой такой точки необходимо определить, меняет в ней функция знак или нет.
  Пересечение с осью ординат — это точка (0, f (0)).

Точки разрывов. Для каждой точки разрыва x0 необходимо выяснить:
   1) Определена ли функция в этой точке.
   2) Существуют ли пределы lim f (x) и lim f (x) (то есть относится разрыв к первому или
                                     x→x0 +         x→x0 −
       второму роду) и, если существуют, вычислить их.
    3) Меняет ли функция знак при переходе через точку разрыва, если этот вопрос имеет смысл
       для данной точки.
  Замечание 1. Такой вопрос, например, не имеет смысла для функции y = sin x1 в точке x = 0.
  Для некоторых точек разрыва второго рода можно ввести понятие вертикальной асимтоты 8.
   Определение 4. Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y =
f (x), если хотя бы один из пределов lim f (x) равен плюс или минус бесконечности.
                                           x→x0 ±


Экстремумы.
  Определение 5. Говорят, что функция y = f (x) достигает в точке x0 локального минимума
(максимума), если существует такой интервал (a, b) ∋ x0 , что f (x0 ) < f (x) (f (x0 ) > f (x)) для
любой точки x ∈ (b, c).
  Точки локальных минимумов или максимумов называются экстремумами 9.
  Для нахождения экстремальных точек пользуются следующим результатом.
  4На самом деле, функции, встречающиеся в заданиях, являются бесконечно дифференцируемыми всюду, кроме
конечного числа точек.
  5Напомним, что функция y = f (x) называется чётной, если f (−x) = f (x), и нечётной, если f (−x) = −f (x) для
любой точки x из области определения.
  6
   Напомним, что функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число T , что f (x+T ) = f (x)
для любого x.
  7
   Полезно также найти точку пересечения с осью ординат.
  8В слове «аси́мптота» ударение ставится на втором слоге.
  9Экстре́мум — ударение на втором слоге.

Страницы