ВУЗ:
Рубрика:
8 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Предложение 10 (условия существования экстремума). Пусть функция y = f(x) определена
на интервале (a, b). Тогда:
Необходимое условие: Если x
0
∈ (a, b) — точка экстремума, то производная f
′
(x
0
) либо не
существует, либо равна нулю.
Первое достаточное условие: Если производная f
′
(x) меняет знак в точке x
0
, то x
0
—
точка экстремума. При этом, если знак меняется с «плюса» на «минус», то это локальный
максимум, а если с «минуса» на «плюс» — локальный минимум.
Второе достаточное условие: Если в точке x
0
первая производная функции обращается
в нуль, а f
′′
(x
0
) > 0, то x
0
— локальный минимум. Если f
′′
(x
0
) < 0, то x
0
— локальный
максимум.
Третье достаточное условие: Пусть
f
′
(x
0
) = f
′′
(x
0
) = ··· = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0.
Тогда:
1) если n — чётное число, то x
0
— локальный минимум при f
(n)
(x
0
) > 0 и локальный
максимум при f
(n)
(x
0
) < 0.
2) Если n нечётно, то рассматриваемой точке экстремума нет.
Точки перегиба.
Определение 6. Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b). Точка x
0
∈ (a, b)
называется точкой перегиба, если на интервале (a, x
0
) функция выпукла, а на интервале (x
0
, a) —
вогнута или наоборот (см. определение 8).
Предложение 11 (условия существования точки перегиба). Пусть функция y = f (x) опреде-
лена на интервале (a, b) и x
0
∈ (a, b). Тогда:
Необходимое условие: Если x
0
— точка перегиба функции y = f (x), то либо вторая про-
изводная не существует f
′′
(x
0
), либо равна нулю.
Первое достаточное условие: Если вторая производная меняет знак в точке (x
0
, a), то это
точка перегиба.
Второе достаточное условие: Если
f
′′
(x
0
) = ··· = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0,
то
1) если n нечётно, то x
0
— точка перегиба,
2) если n чётно, то x
0
не является точкой перегиба.
Поведение на бесконечности. Исследование поведения функции на бесконечности включает
в себя
1) определение существования пределов lim
x→±∞
f(x) и их вычисление, если они существуют,
2) нахождение наклонных и горизонтальных асимптот если они существуют.
Определение 7. Прямая y = Ax + B называется асимптотой функции y = f (x), если
lim
x→±∞
(f(x) − Ax − B) = 0.
Если угловой коэффициент A равен нулю, то асимптота называется горизонтальной, в противном
случае она называется наклонной.
Поведение функции между узловыми точками.
8 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Предложение 10 (условия существования экстремума). Пусть функция y = f (x) определена
на интервале (a, b). Тогда:
Необходимое условие: Если x0 ∈ (a, b) — точка экстремума, то производная f ′ (x0 ) либо не
существует, либо равна нулю.
Первое достаточное условие: Если производная f ′ (x) меняет знак в точке x0 , то x0 —
точка экстремума. При этом, если знак меняется с «плюса» на «минус», то это локальный
максимум, а если с «минуса» на «плюс» — локальный минимум.
Второе достаточное условие: Если в точке x0 первая производная функции обращается
в нуль, а f ′′ (x0 ) > 0, то x0 — локальный минимум. Если f ′′ (x0 ) < 0, то x0 — локальный
максимум.
Третье достаточное условие: Пусть
f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0.
Тогда:
1) если n — чётное число, то x0 — локальный минимум при f (n) (x0 ) > 0 и локальный
максимум при f (n) (x0 ) < 0.
2) Если n нечётно, то рассматриваемой точке экстремума нет.
Точки перегиба.
Определение 6. Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b). Точка x0 ∈ (a, b)
называется точкой перегиба, если на интервале (a, x0 ) функция выпукла, а на интервале (x0 , a) —
вогнута или наоборот (см. определение 8).
Предложение 11 (условия существования точки перегиба). Пусть функция y = f (x) опреде-
лена на интервале (a, b) и x0 ∈ (a, b). Тогда:
Необходимое условие: Если x0 — точка перегиба функции y = f (x), то либо вторая про-
изводная не существует f ′′ (x0 ), либо равна нулю.
Первое достаточное условие: Если вторая производная меняет знак в точке (x0 , a), то это
точка перегиба.
Второе достаточное условие: Если
f ′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0,
то
1) если n нечётно, то x0 — точка перегиба,
2) если n чётно, то x0 не является точкой перегиба.
Поведение на бесконечности. Исследование поведения функции на бесконечности включает
в себя
1) определение существования пределов lim f (x) и их вычисление, если они существуют,
x→±∞
2) нахождение наклонных и горизонтальных асимптот если они существуют.
Определение 7. Прямая y = Ax + B называется асимптотой функции y = f (x), если
lim (f (x) − Ax − B) = 0.
x→±∞
Если угловой коэффициент A равен нулю, то асимптота называется горизонтальной, в противном
случае она называется наклонной.
Поведение функции между узловыми точками.
