ВУЗ:
Рубрика:
6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) lim f (x) = lim g(x) = ∞;
x→+∞ x→+∞
3) существуют конечные производные f ′ (x) и g′ (x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
чём g′ (x) 6= 0;
′ (x)
4) существует (конечный или бесконечный) предел lim fg′ (x) .
x→+∞
Тогда
f (x) f ′ (x)
lim = lim . (42)
x→+∞ g (x)
′
x→+∞ g(x)
Конечно, в теоремах 7 и 9 полуинтервал [a, +∞) можно заменить на (−∞, a].
6. Формула Тейлора
Теорема 10. Пусть функция y = f (x) определена и n + 1 раз дифференцируема на интерва-
ле (a, b). Рассмотрим точку x0 ∈ (a, b) и такое приращение ∆x переменной x, что x0 + ∆x ∈ (a, b).
Тогда приращение ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) функции f в точке x0 имеет вид
f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 )
∆f (x0 ) = ∆x + ∆x2 + · · · + ∆xn + o(∆xn ). (43)
1! 2! n!
Равенство (43) называется формулой Тейлора, а его последнее слагаемое — остаточным членом
(в форме Пеано). Существует более точное представление остаточного члена — в форме Лагранжа.
Оно имеет вид
f (n+1) (c)
o(∆xn ) = ∆xn+1 , (44)
(n + 1)!
где c — некоторая точка, лежащая внутри интервала (a, b).
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Имеют место следующие ра-
венства:
x2 xn
ex = 1 + x + + ··· + + o(xn ), (45)
2 n!
x3 x5 x2n−1
sin x = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(x2n ), (46)
3! 5! (2n − 1)!
x2 x4 x2n
cos x = 1 − + − · · · + (−1)n + o(x2n+1 ), (47)
2 4! (2n)!
µ(µ − 1) 2 µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) n
(1 + x)µ = 1 + µx + x + ··· + x + o(xn ), (48)
2 n!
x2 x3 xn
ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(xn ), (49)
2 3 n
x3 x5 x2n−1
arctg x = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(x2n ). (50)
3 5 2n − 1
Эти формулы позволяют приближённо вычислять значения указанных функций3, а представле-
ние (44) остаточного члена в форме Лагранжа — оценивать погрешность вычисления.
3Именно так их вычисляют компьютеры.
