ВУЗ:
Рубрика:
6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
g(x) = ∞;
3) существуют конечные производные f
′
(x) и g
′
(x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
чём g
′
(x) 6= 0;
4) существует (конечный или бесконечный) предел lim
x→+∞
f
′
(x)
g
′
(x)
.
Тогда
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= lim
x→+∞
f
′
(x)
g
′
(x)
. (42)
Конечно, в теоремах 7 и 9 полуинтервал [a, +∞) можно заменить на (−∞, a].
6. Формула Тейлора
Теорема 10. Пусть функция y = f(x) определена и n + 1 раз дифференцируема на интерва-
ле (a, b). Рассмотрим точку x
0
∈ (a, b) и такое приращение ∆x переменной x, что x
0
+ ∆x ∈ (a, b).
Тогда приращение ∆f (x
0
) = f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) функции f в точке x
0
имеет вид
∆f (x
0
) =
f
′
(x
0
)
1!
∆x +
f
′′
(x
0
)
2!
∆x
2
+ ··· +
f
(n)
(x
0
)
n!
∆x
n
+ o(∆x
n
). (43)
Равенство (43) называется формулой Тейлора, а его последнее слагаемое — остаточным членом
(в форме Пеано). Существует более точное представление остаточного члена — в форме Лагранжа.
Оно имеет вид
o(∆x
n
) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
∆x
n+1
, (44)
где c — некоторая точка, лежащая внутри интервала (a, b).
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Имеют место следующие ра-
венства:
e
x
= 1 + x +
x
2
2
+ ··· +
x
n
n!
+ o(x
n
), (45)
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− ··· + (−1)
n−1
x
2n−1
(2n − 1)!
+ o(x
2n
), (46)
cos x = 1 −
x
2
2
+
x
4
4!
− ··· + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ o(x
2n+1
), (47)
(1 + x)
µ
= 1 + µx +
µ(µ − 1)
2
x
2
+ ··· +
µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1)
n!
x
n
+ o(x
n
), (48)
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
− ··· + (−1)
n−1
x
n
n
+ o(x
n
), (49)
arctg x = x −
x
3
3
+
x
5
5
− ··· + (−1)
n−1
x
2n−1
2n − 1
+ o(x
2n
). (50)
Эти формулы позволяют приближённо вычислять значения у казанных функций
3
, а представле-
ние (44) остаточного члена в форме Лагранжа — оценивать погрешность вычисления.
3
Именно так их вычисляют компьютеры.
6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) lim f (x) = lim g(x) = ∞;
x→+∞ x→+∞
3) существуют конечные производные f ′ (x) и g′ (x) в рассматриваемом полуинтервале, при-
чём g′ (x) 6= 0;
′ (x)
4) существует (конечный или бесконечный) предел lim fg′ (x) .
x→+∞
Тогда
f (x) f ′ (x)
lim = lim . (42)
x→+∞ g (x)
′
x→+∞ g(x)
Конечно, в теоремах 7 и 9 полуинтервал [a, +∞) можно заменить на (−∞, a].
6. Формула Тейлора
Теорема 10. Пусть функция y = f (x) определена и n + 1 раз дифференцируема на интерва-
ле (a, b). Рассмотрим точку x0 ∈ (a, b) и такое приращение ∆x переменной x, что x0 + ∆x ∈ (a, b).
Тогда приращение ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) функции f в точке x0 имеет вид
f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 )
∆f (x0 ) = ∆x + ∆x2 + · · · + ∆xn + o(∆xn ). (43)
1! 2! n!
Равенство (43) называется формулой Тейлора, а его последнее слагаемое — остаточным членом
(в форме Пеано). Существует более точное представление остаточного члена — в форме Лагранжа.
Оно имеет вид
f (n+1) (c)
o(∆xn ) = ∆xn+1 , (44)
(n + 1)!
где c — некоторая точка, лежащая внутри интервала (a, b).
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Имеют место следующие ра-
венства:
x2 xn
ex = 1 + x + + ··· + + o(xn ), (45)
2 n!
x3 x5 x2n−1
sin x = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(x2n ), (46)
3! 5! (2n − 1)!
x2 x4 x2n
cos x = 1 − + − · · · + (−1)n + o(x2n+1 ), (47)
2 4! (2n)!
µ(µ − 1) 2 µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) n
(1 + x)µ = 1 + µx + x + ··· + x + o(xn ), (48)
2 n!
x2 x3 xn
ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(xn ), (49)
2 3 n
x3 x5 x2n−1
arctg x = x − + − · · · + (−1)n−1 + o(x2n ). (50)
3 5 2n − 1
Эти формулы позволяют приближённо вычислять значения указанных функций3, а представле-
ние (44) остаточного члена в форме Лагранжа — оценивать погрешность вычисления.
3Именно так их вычисляют компьютеры.
