Элементы дифференциального исчисления. - 4 стр.

4                                    ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Из предложения 4 следует, что результат будет одним и тем же. Этот факт называется инвари-
антностью дифференциала.


     4. Производные высших порядков
  Предположим, что производная функции y = f (x) определена во всех точках некоторого ин-
                                                                      df
тервала (a, b). Значит, на этом интервале определена функция y ′ = dx    . Если эта функция тоже
дифференцируема, то её производная называется второй производной функции f и обозначает-
           2
ся через ddxf2 или через y ′′ . Если эта функция тоже обладает производной, то можно определить
третью производную, и т.д. Таким образом, производная порядка n (или n-я производная) опре-
деляется как производная производной предыдущего порядка:
                                          dn y
                                                       n−1 
                                                    d     d     y
                                             n
                                                =           n−1
                                                                   ,                         (32)
                                          dx       dx dx
или
                                             y (n) = (y (n−1) )′ .                           (33)
  Определение 3. Если функция y = f (x) обладает производными до порядка n в точке x0 ,
то говорят, что она n раз дифференцируема в этой точке. Если она обладает производными всех
порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой.
  Предложение 9 (формула Лейбница). Производная порядка n функции f · g вычисляется по
следующей формуле:
                   n
                   X                                                                     n!
    (f · g)(n) =         Cni f (i) · g(n−i) = f · g(n) + nf (1) · g(n−1) + · · · +              f (i) · g(n−i) + · · · + f · g(n) , (34)
                                                                                     i!(n − i)!
                   i=0
                 n!
где Cni =     i!(n−i)!    — число сочетаний из n по i.

     В частности,
                                               (f · g)′′ = f · g′′ + 2f ′ · g′ + f ′′ · g,                                        (35)
                                                ′′′        ′′′     ′    ′′      ′′     ′     ′′′
                                        (f · g) = f · g + 3f · g + 3f · g + f                      ·g                             (36)
и т.д.


     5. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теоремы о средних.
  Теорема 2 (теорема Ферма). Пусть функция y = f (x) определена в интервале (a, b) и прини-
мает в некоторой точке x0 ∈ (a, b) наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если эта функция
дифференцируема в рассматриваемой точке, то её производная равна нулю.
  Теорема 3 (теорема Ролля). Пусть функция y = f (x):
   1) определена и непрерывна на отрезке [a, b];
   2) дифференцируема во всех точках интервала (a, b);
   3) принимает равные значения на концах отрезка: f (a) = f (b).
Тогда существует такая точка c ∈ (a, b), что f ′ (c) = 0.
     Теорема 4 (теорема Лагранжа). Пусть функция y = f (x):
      1) определена и непрерывна на отрезке [a, b];
      2) дифференцируема во всех точках интервала (a, b).