ВУЗ:
Рубрика:
2 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 2) функция z = ϕ(y) имеет конечную производную в точке y0 = f (x0 ). Тогда сложная функция z = ϕ(f (x)) также имеет конечную производную в этой точке и dz(x0 ) dz(y0 ) dy(x0 ) = · . (6) dx dy dx Предложение 5 (производная обратной функции). Пусть: 1) функция y = f (x) обладает обратной x = g(y) на некотором интервале (a, b); 2) существует отличная от нуля конечная производная этой функции в точке x0 ∈ (a, b). Тогда обратная функция имеет производную в точке y0 = f (x0 ) и 1 g′ (y0 ) = . (7) f ′ (x0 ) Говорят, что функция y = f (x) задана неявно, если она тождественно удовлетворяет соотно- шению F (x, y(x)) = 0, (8) где F (x, y) — некоторая функция двух аргументов1. Предложение 6 (производная неявной функции). Если функция y = f (x) задана неявно ра- венством (8), то её производная находится из условия dF dF dy + · = 0. (9) dx dy dx Пусть переменные x и y являются функциями некоторой третьей переменной t: ( x = x(t), (10) y = y(t) и исключением t из соотношений (10) переменную y можно выразить как функцию y = f (x) переменной x. В этом случае говорят, что функция f задаётся параметрически. Предложение 7 (производная функции, заданной параметрически). Если функция y = f (x) задана параметрически с помощью соотношений (10), то её производная находится из условия dy dx dy · = . (11) dx dt dt 2. Производные элементарных функций Имеют место следующие равенства: y = c = const, y ′ = 0; (12) µ ′ µ−1 y=x , y = µx ; (13) (в частности, 1 1 y= , y′ = − ; (14) x x2 √ 1 y = x, y ′ = √ ); (15) 2 x y = ax , y ′ = ax · ln a; (16) 1Более точный смысл этого определения и последующего предложения разъяснится при изучении вещественных функций многих аргументов.