ВУЗ:
Рубрика:
2 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) функция z = ϕ(y) имеет конечную производную в точке y
0
= f (x
0
).
Тогда сложная функция z = ϕ(f(x)) также имеет конечную производную в этой точке и
dz(x
0
)
dx
=
dz(y
0
)
dy
·
dy(x
0
)
dx
. (6)
Предложение 5 (производная обратной функции). Пусть:
1) функция y = f(x) обладает обратной x = g(y) на некотором интервале (a, b);
2) существует отличная от нуля конечная производная этой функции в точке x
0
∈ (a, b).
Тогда обратная функция имеет производную в точке y
0
= f (x
0
) и
g
′
(y
0
) =
1
f
′
(x
0
)
. (7)
Говорят, что функция y = f(x) задана неявно, если она тождественно удовлетворяет соотно-
шению
F (x, y(x)) = 0, (8)
где F (x, y) — некоторая функция двух аргументов
1
.
Предложение 6 (производная неявной функции). Если функция y = f (x) задана неявно ра-
венством (8), то её производная находится из условия
dF
dx
+
dF
dy
·
dy
dx
= 0. (9)
Пусть переменные x и y являются функциями некоторой третьей переменной t:
(
x = x(t),
y = y(t)
(10)
и исключением t из соотношений (10) переменную y можно выразить как функцию y = f(x)
переменной x. В этом случае говорят, что функция f задаётся параметрически.
Предложение 7 (производная функции, заданной параметрически). Если функция y = f (x)
задана параметрически с помощью соотношений (10), то её производная находится из условия
dy
dx
·
dx
dt
=
dy
dt
. (11)
2. Производные элементарных функций
Имеют место следующие равенства:
y = c = const, y
′
= 0; (12)
y = x
µ
, y
′
= µx
µ−1
; (13)
(в частности,
y =
1
x
, y
′
= −
1
x
2
; (14)
y =
√
x, y
′
=
1
2
√
x
); (15)
y = a
x
, y
′
= a
x
· ln a; (16)
1
Более точный смысл этого определения и последующего предложения разъяснится при изучении вещественных
функци й мн огих аргументов.
2 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) функция z = ϕ(y) имеет конечную производную в точке y0 = f (x0 ).
Тогда сложная функция z = ϕ(f (x)) также имеет конечную производную в этой точке и
dz(x0 ) dz(y0 ) dy(x0 )
= · . (6)
dx dy dx
Предложение 5 (производная обратной функции). Пусть:
1) функция y = f (x) обладает обратной x = g(y) на некотором интервале (a, b);
2) существует отличная от нуля конечная производная этой функции в точке x0 ∈ (a, b).
Тогда обратная функция имеет производную в точке y0 = f (x0 ) и
1
g′ (y0 ) = . (7)
f ′ (x0 )
Говорят, что функция y = f (x) задана неявно, если она тождественно удовлетворяет соотно-
шению
F (x, y(x)) = 0, (8)
где F (x, y) — некоторая функция двух аргументов1.
Предложение 6 (производная неявной функции). Если функция y = f (x) задана неявно ра-
венством (8), то её производная находится из условия
dF dF dy
+ · = 0. (9)
dx dy dx
Пусть переменные x и y являются функциями некоторой третьей переменной t:
(
x = x(t),
(10)
y = y(t)
и исключением t из соотношений (10) переменную y можно выразить как функцию y = f (x)
переменной x. В этом случае говорят, что функция f задаётся параметрически.
Предложение 7 (производная функции, заданной параметрически). Если функция y = f (x)
задана параметрически с помощью соотношений (10), то её производная находится из условия
dy dx dy
· = . (11)
dx dt dt
2. Производные элементарных функций
Имеют место следующие равенства:
y = c = const, y ′ = 0; (12)
µ ′ µ−1
y=x , y = µx ; (13)
(в частности,
1 1
y= , y′ = − ; (14)
x x2
√ 1
y = x, y ′ = √ ); (15)
2 x
y = ax , y ′ = ax · ln a; (16)
1Более точный смысл этого определения и последующего предложения разъяснится при изучении вещественных
функций многих аргументов.
