Элементы дифференциального исчисления. - 2 стр.

UptoLike

Рубрика: 

2                            ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

   2) функция z = ϕ(y) имеет конечную производную в точке y0 = f (x0 ).
Тогда сложная функция z = ϕ(f (x)) также имеет конечную производную в этой точке и
                                        dz(x0 )   dz(y0 ) dy(x0 )
                                                =        ·        .                                    (6)
                                          dx        dy      dx
  Предложение 5 (производная обратной функции). Пусть:
   1) функция y = f (x) обладает обратной x = g(y) на некотором интервале (a, b);
   2) существует отличная от нуля конечная производная этой функции в точке x0 ∈ (a, b).
Тогда обратная функция имеет производную в точке y0 = f (x0 ) и
                                                             1
                                             g′ (y0 ) =               .                                (7)
                                                          f ′ (x0 )
  Говорят, что функция y = f (x) задана неявно, если она тождественно удовлетворяет соотно-
шению
                                       F (x, y(x)) = 0,                                 (8)
где F (x, y) — некоторая функция двух аргументов1.
  Предложение 6 (производная неявной функции). Если функция y = f (x) задана неявно ра-
венством (8), то её производная находится из условия
                                           dF   dF dy
                                              +   ·   = 0.                                             (9)
                                           dx   dy dx
    Пусть переменные x и y являются функциями некоторой третьей переменной t:
                                        (
                                          x = x(t),
                                                                                                     (10)
                                          y = y(t)
и исключением t из соотношений (10) переменную y можно выразить как функцию y = f (x)
переменной x. В этом случае говорят, что функция f задаётся параметрически.
  Предложение 7 (производная функции, заданной параметрически). Если функция y = f (x)
задана параметрически с помощью соотношений (10), то её производная находится из условия
                                              dy dx   dy
                                                ·   =    .                                           (11)
                                              dx dt   dt


    2. Производные элементарных функций
    Имеют место следующие равенства:
                       y = c = const,                            y ′ = 0;                            (12)
                             µ                                        ′     µ−1
                       y=x ,                                     y = µx           ;                  (13)

(в частности,
                          1                                               1
                       y=   ,                                    y′ = −      ;                       (14)
                          x                                              x2
                          √                                              1
                       y = x,                                    y ′ = √ );                          (15)
                                                                       2 x
                       y = ax ,                                  y ′ = ax · ln a;                    (16)

    1Более точный смысл этого определения и последующего предложения разъяснится при изучении вещественных
функций многих аргументов.