ВУЗ:
Рубрика:
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 3
(в частности,
y = e
x
, y
′
= e
x
); (17)
y = log
a
x, y
′
=
1
x ln a
; (18)
(в частности,
y = ln x, y
′
=
1
x
); (19)
y = sin x, y
′
= cos x; (20)
y = cos x, y
′
= −sin x; (21)
y = tg x, y
′
= s ec
2
x =
1
cos
2
x
; (22)
y = ctg x, y
′
= −csc
2
x = −
1
sin
2
x
; (23)
y = arcsin x, y
′
=
1
√
1 −x
2
; (24)
y = arccos x, y
′
= −
1
√
1 −x
2
; (25)
y = arctg x, y
′
=
1
1 + x
2
; (26)
y = arcctg x, y
′
= −
1
1 + x
2
. (27)
3. Дифференциал
Определение 2. Функция y = f (x), определённая в интервале (a, b), называется дифференци-
руемой в точке x
0
∈ (a, b), если её приращение ∆y = f (x
0
+ ∆x) −f (x
0
) выражается формулой
∆y = A · ∆x + o(∆x), A = const. (28)
При этом выражение A ·∆x называется дифференциалом функции f и обозначается через df.
Теорема 1. Функция y = f (x) дифференцируема в точке x
0
тогда и только тогда, когда она
имеет конечную производную в этой точке. При этом постоянная A из формулы (28) совпадает
со значением производной функции f в точке x
0
: A = f
′
(x
0
).
Предложение 8 (дифференциалы арифметических выражений). Имеют место следующие ра-
венства:
d(f ± g) = df ± dg, (29)
d(f ·g) = f dg + g df, (30)
d
f
g
=
g df − f dg
g
2
. (31)
Упражнение 1. Пользуясь теоремой 1 и равенствами (12)–(27), выпишите формулы для диф-
ференциалов элементарных функций.
Инвариантность дифференциала. Пусть заданы такие функции y = f (x) и z = ϕ(y), что
определена их суперпозиция z = ϕ(f(x)). Тогда дифференциал сложной функции можно вычис-
лить двумя способами:
1) как функции переменной x непосредственно;
2) сначала как функции переменной y, а затем подставить дифференциал y как функции
переменной x.
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 3
(в частности,
y = ex , y ′ = ex ); (17)
1
y = loga x, y′ = ; (18)
x ln a
(в частности,
1
y = ln x, y′ = ); (19)
x
y = sin x, y ′ = cos x; (20)
′
y = cos x, y = − sin x; (21)
1
y = tg x, y ′ = sec2 x = ; (22)
cos2 x
1
y = ctg x, y′ = −csc 2 x = − 2 ; (23)
sin x
1
y = arcsin x, y′ =√ ; (24)
1 − x2
1
y = arccos x, y′ = −√ ; (25)
1 − x2
1
y = arctg x, y′ = ; (26)
1 + x2
1
y = arcctg x, y′ =− . (27)
1 + x2
3. Дифференциал
Определение 2. Функция y = f (x), определённая в интервале (a, b), называется дифференци-
руемой в точке x0 ∈ (a, b), если её приращение ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) выражается формулой
∆y = A · ∆x + o(∆x), A = const. (28)
При этом выражение A · ∆x называется дифференциалом функции f и обозначается через df .
Теорема 1. Функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда она
имеет конечную производную в этой точке. При этом постоянная A из формулы (28) совпадает
со значением производной функции f в точке x0 : A = f ′ (x0 ).
Предложение 8 (дифференциалы арифметических выражений). Имеют место следующие ра-
венства:
d(f ± g) = df ± dg, (29)
d(f · g) = f dg + g df, (30)
f g df − f dg
d = . (31)
g g2
Упражнение 1. Пользуясь теоремой 1 и равенствами (12)–(27), выпишите формулы для диф-
ференциалов элементарных функций.
Инвариантность дифференциала. Пусть заданы такие функции y = f (x) и z = ϕ(y), что
определена их суперпозиция z = ϕ(f (x)). Тогда дифференциал сложной функции можно вычис-
лить двумя способами:
1) как функции переменной x непосредственно;
2) сначала как функции переменной y, а затем подставить дифференциал y как функции
переменной x.
