Линейная алгебра. - 1 стр.

                                       ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА




  1. Векторные пространства и линейные операторы
  Определение 1. Множество V называется векторным пространством (над полем действи-
тельных чисел R), если его элементы можно складывать между собой и умножать на действи-
тельные числа, причём эти операции обладают следующими свойствами (которые называются
аксиомами векторного пространства):
   1) сложение коммутативно: u + v = v + u для любых u, v ∈ V ;
   2) сложение ассоциативно: u + (v + w) = (u + v) + w для любых u, v и w ∈ V ;
   3) в V существует нулевой элемент 0 (или нуль): 0 + u = u + 0 = u для любого u ∈ V ;
   4) для каждого u ∈ V существует противоположный ему элемент −u: u+(−u) = (−u)+u = 0;
   5) умножение ассоциативно: λ(µu) = (λµ)u для любых чисел λ, µ ∈ R и элемента u ∈ V ;
   6) умножение дистрибутивно относительно сложения: λ(u+v) = λu+λv для любого числа λ ∈
      R и элементов u, v ∈ V ;
   7) умножение на единицу тождественно: 1 · u = u для любого элемента u ∈ V .
Элементы векторного пространства называются векторами.
  Пример 1. Само множество R действительных чисел является векторным пространством. Мно-
жество, состоящее из единственного элемента — нуля, — также является векторным простран-
ством. Оно обозначается через 0 и называется тривиальным.
  Пример 2. Рассмотрим множество
                                 Rn = { (λ1 , . . . , λn ) | λ1 , . . . , λn ∈ R }
и положим
                       (λ1 , . . . , λn ) + (λ′1 , . . . , λ′n ) = (λ1 + λ′1 , . . . , λn + λ′n ),
                                      λ(λ1 , . . . , λn ) = (λλ1 , . . . , λλn ).
Тогда Rn превращается в векторное пространство, которое называется n-мерным арифметиче-
ским пространством.
  Определение 2. Подмножество V ′ ⊂ V векторного пространства V называется подпростран-
ством, если
   1) u + v ∈ V ′ для любых u, v ∈ V ′ ,
   2) λu ∈ V ′ для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V ′ ,
то есть если V ′ замкнуто относительно сложения и умножения на числа.
  Предложение 1. Всякое подпространство векторного пространства само является векторным
пространством.
  Пример 3. Пусть v ∈ V . Тогда множество { λv | λ ∈ R } является подпространством в V .
  Определение 3. Отображение A : V → W двух векторных пространств V и W называется
линейным оператором (действующим из V в W ), если
   1) A(u + v) = A(u) + A(v) для любых векторов u, v ∈ V ;
   2) A(λu) = λA(u) для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V .
                                                           1