ВУЗ:
Рубрика:
16 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Точка A лежит на плоскости A
1
A
2
A
3
тогда и только тогда, когда точки A, A
1
, A
2
и A
3
ком-
планарны. Условие компланарности записывается в виде
rank
x − x
1
y − y
1
z − z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 2. (48)
Значит, уравнение плоскости, проходящей через точки A
1
, A
2
и A
3
, имеет вид
y
2
− y
1
z
2
− z
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
(x − x
1
) −
x
2
− x
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
z
3
− z
1
(y − y
1
) +
x
2
− x
1
y
2
− y
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
(z − z
1
) = 0. (49)
Уравнения произвольной прямой в пространстве можно также записать в виде
x − α
1
α
=
y − β
1
β
=
z − γ
1
γ
, (50)
а плоскости — в виде
ax + by + cz + d = 0, (51)
где v = (α, β, γ) 6= 0 —направляющий вектор прямой, а n = (a, b, c) 6= 0 — вектор нормали к плос-
кости. Поэтому у равнение плоскости, проходящей через точку (x
1
, y
1
, z
1
) и перпендикулярной к
прямой (50), имеет вид
α(x − x
1
) + β(y − y
1
) + γ(z − z
1
) = 0, (52)
а прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной плоскости (51) — вид
x − x
1
a
=
y − y
1
b
=
z − z
1
c
. (53)
Как и в случае прямой на плоскости, уравнения (53) можно переписать в параметрической форме:
x = at + x
1
, y = bt + y
1
, z = ct + z
1
, t ∈ R. (54)
16 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Точка A лежит на плоскости A1 A2 A3 тогда и только тогда, когда точки A, A1 , A2 и A3 ком-
планарны. Условие компланарности записывается в виде
x − x1 y − y1 z − z1
rank x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 2. (48)
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
Значит, уравнение плоскости, проходящей через точки A1 , A2 и A3 , имеет вид
y2 − y1 z2 − z1 x − x1 z2 − z1 x − x1 y2 − y1
(x − x1 ) − 2 (y − y1 ) + 2 (z − z1 ) = 0. (49)
y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 z3 − z1 x3 − x1 y3 − y1
Уравнения произвольной прямой в пространстве можно также записать в виде
x − α1 y − β1 z − γ1
= = , (50)
α β γ
а плоскости — в виде
ax + by + cz + d = 0, (51)
где v = (α, β, γ) 6= 0 —направляющий вектор прямой, а n = (a, b, c) 6= 0 — вектор нормали к плос-
кости. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку (x1 , y1 , z1 ) и перпендикулярной к
прямой (50), имеет вид
α(x − x1 ) + β(y − y1 ) + γ(z − z1 ) = 0, (52)
а прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной плоскости (51) — вид
x − x1 y − y1 z − z1
= = . (53)
a b c
Как и в случае прямой на плоскости, уравнения (53) можно переписать в параметрической форме:
x = at + x1 , y = bt + y1 , z = ct + z1 , t ∈ R. (54)
