ВУЗ:
Рубрика:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 13
Пример 12. Важным для дальнейшего частным случаем примера 10 являются собственные
значения симметрических 2 × 2-матриц, т.е. матриц вида
a
11
a
12
a
12
a
22
.
В этом случае неравенство (26) имеет вид
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
> 0
и, значит, выполняется всегда. Заметим, что равенство возможно тогда и только тогда, когда
a
11
= a
22
, a
12
= 0,
т.е. M — скалярная матрица, а если неравенство строгое, то существуют два различных собствен-
ных значения. Обозначим их через λ
1
и λ
2
, и пусть v
1
, v
2
— соответствующие им собственные
векторы. Предположим, что существуют такие числа µ
1
и µ
2
, что
µ
1
v
1
+ µ
2
v
2
= 0. (27)
Применяя к этому равенству матрицу M , получаем
µ
1
λ
2
v
1
+ µ
2
λ
2
v
2
= 0. (28)
Умножая равенство (27) на λ
1
и вычитая из (28), получаем
(λ
2
− λ
1
)µ
2
v
2
= 0.
Аналогично, умножая на λ
2
, получим
(λ
1
− λ
2
)µ
1
v
1
= 0.
Поскольку λ
1
6= λ
2
, а векторы v
1
и v
2
— ненулевые, из этого следует, что µ
1
= µ
2
= 0, т.е. v
1
и v
2
— линейно независимы. Значит, их можно выбрать в качестве нового базиса. В этом базисе
рассматриваемая матрица будет иметь вид
λ
1
0
0 λ
2
.
Итак, мы доказали следующий результат:
Теорема 5. Для любой симметрической матрицы 2 × 2 существует базис, состоящий из соб-
ственных векторов. В этом базисе матрица принимает диагональный вид, причём на диагонали
стоят её собственные значения.
5. Плоскость и трёхмерное пространство
Точкой n-мерного арифметического пространства R
n
называется набор чисел A = (a
1
, . . . , a
n
),
которые называются координатами этой точки. Упорядоченная пара точек AB называется на-
правленным отрезком, соединяющим точки A и B. При этом A называется началом этого от-
резка, а B его концом. Говорят также, что отрезок AB приложен к точке A. Отрезок OA,
где O = (0, . . . , 0) — начало координат, называется радиус-вектором точки A.
Каждому направленному отрезку AB соответствует вектор v
AB
= (b
1
− a
1
, . . . , b
n
− a
n
). Точ-
ки A
0
, . . . , A
k
называются коллинеарными, если ранг системы векторов v
A
0
A
1
, . . . , v
A
0
A
k
равен 1,
и компланарными, если её ранг равен 2.
Скалярным произведением векторов v = (v
1
, . . . , v
n
) и w = (w
1
, . . . , w
n
) называется величина
(v, w) = v
1
w
1
+ v
2
w
2
+ · · · + v
n
w
n
. (29)
Величина
kvk =
p
(v, v) =
q
v
2
1
+ v
2
2
+ · · · + v
2
n
(30)
называется длиной вектора v.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 13
Пример 12. Важным для дальнейшего частным случаем примера 10 являются собственные
значения симметрических 2 × 2-матриц, т.е. матриц вида
a11 a12
.
a12 a22
В этом случае неравенство (26) имеет вид
(a11 − a22 )2 + 4a212 > 0
и, значит, выполняется всегда. Заметим, что равенство возможно тогда и только тогда, когда
a11 = a22 , a12 = 0,
т.е. M — скалярная матрица, а если неравенство строгое, то существуют два различных собствен-
ных значения. Обозначим их через λ1 и λ2 , и пусть v1 , v2 — соответствующие им собственные
векторы. Предположим, что существуют такие числа µ1 и µ2 , что
µ1 v1 + µ2 v2 = 0. (27)
Применяя к этому равенству матрицу M , получаем
µ1 λ2 v1 + µ2 λ2 v2 = 0. (28)
Умножая равенство (27) на λ1 и вычитая из (28), получаем
(λ2 − λ1 )µ2 v2 = 0.
Аналогично, умножая на λ2 , получим
(λ1 − λ2 )µ1 v1 = 0.
Поскольку λ1 6= λ2 , а векторы v1 и v2 — ненулевые, из этого следует, что µ1 = µ2 = 0, т.е. v1
и v2 — линейно независимы. Значит, их можно выбрать в качестве нового базиса. В этом базисе
рассматриваемая матрица будет иметь вид
λ1 0
.
0 λ2
Итак, мы доказали следующий результат:
Теорема 5. Для любой симметрической матрицы 2 × 2 существует базис, состоящий из соб-
ственных векторов. В этом базисе матрица принимает диагональный вид, причём на диагонали
стоят её собственные значения.
5. Плоскость и трёхмерное пространство
Точкой n-мерного арифметического пространства Rn называется набор чисел A = (a1 , . . . , an ),
которые называются координатами этой точки. Упорядоченная пара точек AB называется на-
правленным отрезком, соединяющим точки A и B. При этом A называется началом этого от-
резка, а B его концом. Говорят также, что отрезок AB приложен к точке A. Отрезок OA,
где O = (0, . . . , 0) — начало координат, называется радиус-вектором точки A.
Каждому направленному отрезку AB соответствует вектор vAB = (b1 − a1 , . . . , bn − an ). Точ-
ки A0 , . . . , Ak называются коллинеарными, если ранг системы векторов vA0 A1 , . . . , vA0 Ak равен 1,
и компланарными, если её ранг равен 2.
Скалярным произведением векторов v = (v1 , . . . , vn ) и w = (w1 , . . . , wn ) называется величина
(v, w) = v1 w1 + v2 w2 + · · · + vn wn . (29)
Величина q
p
kvk = (v, v) = v12 + v22 + · · · + vn2 (30)
называется длиной вектора v.
