ВУЗ:
Рубрика:
14 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Базис e
1
, . . . , e
n
пространства R
n
называется ортонормированным, если
(e
i
, e
j
) =
(
1, при i = j,
0, при i 6= j.
В частности, стандартный базис, описанный в примере 7, является ортонормированным.
Случай n = 2 (плоскость). На плоскости R
2
координаты точек и векторов иногда принято
обозначать через x (абсцисса) и y (ордината). Если A
0
(x
0
, y
0
) и A
1
(x
1
, y
1
) — точки, то величина
kv
A
0
A
1
k =
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
(31)
совпадает с длиной отрезка A
0
A
1
. Если A
2
(x
2
, y
2
) — третья точка, то скалярное произведение
между векторами v
A
0
A
1
и v
A
0
A
2
вычисляется по формуле
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
) = (x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
). (32)
С другой стороны, имеет место равенство
cos α =
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
)
kv
A
0
A
1
k · kv
A
0
A
2
k
=
(x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
)
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
·
p
(x
2
− x
0
)
2
+ (y
2
− y
0
)
2
, (33)
где α — угол A
1
A
0
A
2
. Если через S
A
0
A
1
A
2
обозначить площадь треугольника A
0
A
1
A
2
, то имеет
место равенство
S
A
0
A
1
A
2
=
1
2
|(x
1
− x
0
)(y
2
− y
0
) − (x
2
− x
0
)(y
1
− y
0
)|. (34)
Пусть заданы две не совпадающие точки A
1
(x
1
, y
1
) и A
1
(x
2
, y
2
) и A(x, y) — произвольная точка
плоскости. Эта точка лежит на прямой A
1
A
2
тогда и только тогда, когда точки A, A
1
и A
2
коллинеарны. Условие коллинеарности записывается в виде
x − x
1
y − y
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
= 0,
или
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
. (35)
Таким образом, (35) — уравнение прямой, проходящей через точки A
1
(x
1
, y
1
) и A
2
(x
2
, y
2
).
Замечание 3. Если x
1
= x
2
, то уравнением прямой является x = x
1
, а если y
1
= y
2
, то y = y
1
.
Равенства x
1
= x
2
и y
1
= y
2
не могут выполняться одновременно, поскольку A
1
и A
2
— разные
точки.
Уравнение прямой на плоскости можно также задать в виде
ax + by + c = 0, (36)
где числа a и b одновременно не обращаются в нуль. При этом вектор v = (a, b) ортогонален
этой прямой, и поэтому уравнение прямой, перпендикулярной прямой (36) и проходящей через
точку A
1
(x
1
, y
1
), имеет вид
x − x
1
a
=
y − y
1
b
. (37)
Вводя новую переменную t ∈ R, уравнение (37) можно переписать виде
x = at + x
1
, y = bt + y
1
, t ∈ R. (38)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а переменная t — парамет-
ром.
14 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Базис e1 , . . . , en пространства Rn называется ортонормированным, если
(
1, при i = j,
(ei , ej ) =
0, при i 6= j.
В частности, стандартный базис, описанный в примере 7, является ортонормированным.
Случай n = 2 (плоскость). На плоскости R2 координаты точек и векторов иногда принято
обозначать через x (абсцисса) и y (ордината). Если A0 (x0 , y0 ) и A1 (x1 , y1 ) — точки, то величина
p
kvA0 A1 k = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 (31)
совпадает с длиной отрезка A0 A1 . Если A2 (x2 , y2 ) — третья точка, то скалярное произведение
между векторами vA0 A1 и vA0 A2 вычисляется по формуле
(vA0 A1 , vA0 A2 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ). (32)
С другой стороны, имеет место равенство
(vA0 A1 , vA0 A2 ) (x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 )
cos α = =p p , (33)
kvA0 A1 k · kvA0 A2 k (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 · (x2 − x0 )2 + (y2 − y0 )2
где α — угол A1 A0 A2 . Если через SA0 A1 A2 обозначить площадь треугольника A0 A1 A2 , то имеет
место равенство
1
SA0 A1 A2 = |(x1 − x0 )(y2 − y0 ) − (x2 − x0 )(y1 − y0 )|. (34)
2
Пусть заданы две не совпадающие точки A1 (x1 , y1 ) и A1 (x2 , y2 ) и A(x, y) — произвольная точка
плоскости. Эта точка лежит на прямой A1 A2 тогда и только тогда, когда точки A, A1 и A2
коллинеарны. Условие коллинеарности записывается в виде
x − x1 y − y1
= 0,
x2 − x1 y2 − y1
или
x − x1 y − y1
= . (35)
x2 − x1 y2 − y1
Таким образом, (35) — уравнение прямой, проходящей через точки A1 (x1 , y1 ) и A2 (x2 , y2 ).
Замечание 3. Если x1 = x2 , то уравнением прямой является x = x1 , а если y1 = y2 , то y = y1 .
Равенства x1 = x2 и y1 = y2 не могут выполняться одновременно, поскольку A1 и A2 — разные
точки.
Уравнение прямой на плоскости можно также задать в виде
ax + by + c = 0, (36)
где числа a и b одновременно не обращаются в нуль. При этом вектор v = (a, b) ортогонален
этой прямой, и поэтому уравнение прямой, перпендикулярной прямой (36) и проходящей через
точку A1 (x1 , y1 ), имеет вид
x − x1 y − y1
= . (37)
a b
Вводя новую переменную t ∈ R, уравнение (37) можно переписать виде
x = at + x1 , y = bt + y1 , t ∈ R. (38)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а переменная t — парамет-
ром.
