ВУЗ:
Рубрика:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 15
Случай n = 3 (трёхмерное пространство). В трёхмерном пространстве R
3
координаты то-
чек и векторов иногда принято обозначать через x (абсцисса), y (ордината) и z (аппликата).
Если A
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и A
1
(x
1
, y
1
, z
1
) — точки, то величина
kv
A
0
A
1
k =
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
(39)
совпадает с длиной отрезка A
0
A
1
. Если A
2
(x
2
, y
2
, z
2
) — третья точка, то скалярное произведение
между векторами v
A
0
A
1
и v
A
0
A
2
вычисляется по формуле
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
) = (x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
) + (z
1
− z
0
)(z
2
− z
0
). (40)
С другой стороны, имеет место равенство
cos α =
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
)
kv
A
0
A
1
k · kv
A
0
A
2
k
=
=
(x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
) + (z
1
− z
0
)(z
2
− z
0
)
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
·
p
(x
2
− x
0
)
2
+ (y
2
− y
0
)
2
+ (z
2
− z
0
)
2
, (41)
где α — угол A
1
A
0
A
2
.
Обозначим через i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) и k = (0, 0, 1) стандартные базисные векторы трёх-
мерного пространства. Вектор
v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
=
i j k
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
(42)
называется векторным произведением
1
. Длина этого вектора есть удвоенная площадь треуголь-
ника A
0
A
1
A
2
. Таким образом,
S
A
0
A
1
A
2
=
1
2
s
y
1
− y
0
z
1
− z
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
2
+
x
1
− x
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
z
2
− z
0
2
+
x
1
− x
0
y
1
− y
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
2
. (43)
Пусть A
3
(x
3
, y
3
, z
3
) — ещё одна точка пространства. Величина
(v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
, v
A
0
A
2
) (44)
называется смешанным произведением векторов v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
и v
A
0
A
3
. Оно следующим образом
связано с объёмом пирамиды A
0
A
1
A
2
A
3
:
V
A
0
A
1
A
2
A
3
=
1
6
|(v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
, v
A
0
A
2
)| =
1
6
det
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
x
3
− x
0
y
3
− y
0
z
3
− z
0
. (45)
Пусть A(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на прямой A
1
A
2
тогда и
только тогда, когда точки A, A
1
и A
2
коллинеарны. Условие коллинеарности записывается в виде
rank
x − x
1
y − y
1
z − z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
= 1. (46)
Значит,
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z − z
1
z
2
− z
1
(47)
— уравнение прямой, проходящей через точки A
1
и A
2
(см. также замечание 3).
1
Определитель в правой части равенства (42) является сокращённым обозначением вектора, получаемого разло-
жением по первой строке:
˛
˛
y
1
−y
0
z
1
−z
0
y
2
−y
0
z
2
−z
0
˛
˛
· i−
˛
˛
x
1
−x
0
z
1
−z
0
x
2
−x
0
z
2
−z
0
˛
˛
· j+
˛
˛
x
1
−x
0
y
1
−y
0
x
2
−x
0
y
2
−y
0
˛
˛
· k. Такие обозначения часто используются
в математике и, в особенности, в физике.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 15
Случай n = 3 (трёхмерное пространство). В трёхмерном пространстве R3 координаты то-
чек и векторов иногда принято обозначать через x (абсцисса), y (ордината) и z (аппликата).
Если A0 (x0 , y0 , z0 ) и A1 (x1 , y1 , z1 ) — точки, то величина
p
kvA0 A1 k = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 (39)
совпадает с длиной отрезка A0 A1 . Если A2 (x2 , y2 , z2 ) — третья точка, то скалярное произведение
между векторами vA0 A1 и vA0 A2 вычисляется по формуле
(vA0 A1 , vA0 A2 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ) + (z1 − z0 )(z2 − z0 ). (40)
С другой стороны, имеет место равенство
(vA0 A1 , vA0 A2 )
cos α = =
kvA0 A1 k · kvA0 A2 k
(x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ) + (z1 − z0 )(z2 − z0 )
=p p , (41)
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 · (x2 − x0 )2 + (y2 − y0 )2 + (z2 − z0 )2
где α — угол A1 A0 A2 .
Обозначим через i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) и k = (0, 0, 1) стандартные базисные векторы трёх-
мерного пространства. Вектор
i j k
vA0 A1 × vA0 A2 = x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 (42)
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0
называется векторным произведением 1. Длина этого вектора есть удвоенная площадь треуголь-
ника A0 A1 A2 . Таким образом,
s
1 y1 − y0 z1 − z0 2 x − x0 z1 − z0
2
x − x0 y1 − y0
2
S A0 A1 A2 = + 1 + 1 . (43)
2 y2 − y0 z2 − z0 x2 − x0 z2 − z0 x2 − x0 y2 − y0
Пусть A3 (x3 , y3 , z3 ) — ещё одна точка пространства. Величина
(vA0 A1 × vA0 A2 , vA0 A2 ) (44)
называется смешанным произведением векторов vA0 A1 , vA0 A2 и vA0 A3 . Оно следующим образом
связано с объёмом пирамиды A0 A1 A2 A3 :
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
1 1
VA0 A1 A2 A3 = |(vA0 A1 × vA0 A2 , vA0 A2 )| = det x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 . (45)
6 6 x −x y −y z −z 3 0 3 0 3 0
Пусть A(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на прямой A1 A2 тогда и
только тогда, когда точки A, A1 и A2 коллинеарны. Условие коллинеарности записывается в виде
x − x1 y − y1 z − z1
rank = 1. (46)
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Значит,
x − x1 y − y1 z − z1
= = (47)
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
— уравнение прямой, проходящей через точки A1 и A2 (см. также замечание 3).
1Определитель в правой части равенства (42) является сокращённым обозначением вектора, получаемого разло-
˛ y −y z −z ˛ ˛ x −x z −z ˛ ˛ x −x y −y ˛
жением по первой строке: ˛ y12 −y00 z12 −z00 ˛ ·i− ˛ x12 −x00 1 0
z2 −z0
˛ ·j+ ˛ 1 0 1
x2 −x0 y2 −y0
0 ˛ ·k. Такие обозначения часто используются
в математике и, в особенности, в физике.
