Линейная алгебра. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
. . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ · · · + a
nn
x
n
= λx
n
,
или
(a
11
− λ)x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= 0,
a
21
x
1
+ (a
22
− λ)x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= 0,
. . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ · · · + (a
nn
− λ)x
n
= 0.
Иными словами, однородная система линейных уравнений
(M − λE)v = 0 (23)
должна иметь ненулевое решение. В силу замечания 2 это возможно тогда и только тогда, когда
определитель матрицы системы (23) равен нулю:
|M − λE| = 0. (24)
Очевидно, выражение, стоящее в левой части уравнения (24), является полиномом степени n
относительно λ, т.е. имеет вид
|M − λE| = d
0
+ d
1
λ + d
2
λ
2
+ · · · + d
n
λ
n
.
При этом, очевидно, d
n
= (−1)
n
, а коэффициент d
0
совпадает с определителем матрицы M.
Определение 23. Полином χ
M
(λ) = |M − λE| называется характеристическим полиномом
(или многочленом) матрицы M.
Таким образом, действительное число λ является собственным значением матрицы M , тогда
и только тогда, когда оно есть корень её характеристического полинома χ
M
(λ). Чтобы найти
соответствующий собственный вектор, нужно решить систему уравнений (23) относительно v при
данном значении λ.
Пример 10. Если
M =
a
11
a
12
a
21
a
22
— матрица 2 × 2, то её характеристический полином имеет вид
χ
M
(λ) =
a
11
− λ a
12
a
21
a
22
− λ
= (a
11
− λ)(a
22
− λ) − a
12
a
21
= λ
2
− (a
11
+ a
22
) + a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Таким образом, чтобы найти собственные значения этой матрицы, нужно решить квадратное
уравнение
λ
2
− (a
11
+ a
22
) + a
11
a
22
− a
12
a
21
= 0. (25)
Дискриминант этого уравнения равен (a
11
−a
22
)
2
+4a
12
a
21
, и поэтому матрица M имеет собствен-
ные решения тогда и только тогда, когда
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
12
a
21
> 0. (26)
Пример 11. В случае матрицы 3 × 3 характеристический полином имеет вид
χ
M
(λ) = d
0
− d
1
λ + d
2
λ
2
− λ
3
,
где d
0
= ∆
M
(как и для любой матрицы),
d
1
=
a
22
a
23
a
32
a
33
+
a
11
a
13
a
31
a
33
+
a
11
a
12
a
21
a
22
,
т.е. совпадает с суммой миноров, дополнительных к диагональным элементам, и, наконец,
d
2
= a
11
+ a
22
+ a
33
.
12                                           ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

                                    ....
                                    an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = λxn ,
или
                                  (a11 − λ)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0,
                                  a21 x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2n xn = 0,
                                  ....
                                  an1 x1 + an2 x2 + · · · + (ann − λ)xn = 0.
Иными словами, однородная система линейных уравнений
                                                (M − λE)v = 0                                          (23)
должна иметь ненулевое решение. В силу замечания 2 это возможно тогда и только тогда, когда
определитель матрицы системы (23) равен нулю:
                                                |M − λE| = 0.                                          (24)
Очевидно, выражение, стоящее в левой части уравнения (24), является полиномом степени n
относительно λ, т.е. имеет вид
                                |M − λE| = d0 + d1 λ + d2 λ2 + · · · + dn λn .
При этом, очевидно, dn = (−1)n , а коэффициент d0 совпадает с определителем матрицы M .
  Определение 23. Полином χM (λ) = |M − λE| называется характеристическим полиномом
(или многочленом) матрицы M .
  Таким образом, действительное число λ является собственным значением матрицы M , тогда
и только тогда, когда оно есть корень её характеристического полинома χM (λ). Чтобы найти
соответствующий собственный вектор, нужно решить систему уравнений (23) относительно v при
данном значении λ.
     Пример 10. Если                                 
                                                     
                                             a11 a12
                                               M=
                                             a21 a22
— матрица 2 × 2, то её характеристический полином имеет вид
                a11 − λ   a12
     χM (λ) =                   = (a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 = λ2 − (a11 + a22 ) + a11 a22 − a12 a21 .
                  a21   a22 − λ
Таким образом, чтобы найти собственные значения этой матрицы, нужно решить квадратное
уравнение
                            λ2 − (a11 + a22 ) + a11 a22 − a12 a21 = 0.                      (25)
                                                2
Дискриминант этого уравнения равен (a11 − a22 ) + 4a12 a21 , и поэтому матрица M имеет собствен-
ные решения тогда и только тогда, когда
                                          (a11 − a22 )2 + 4a12 a21 > 0.                                (26)
     Пример 11. В случае матрицы 3 × 3 характеристический полином имеет вид
                                        χM (λ) = d0 − d1 λ + d2 λ2 − λ3 ,
где d0 = ∆M (как и для любой матрицы),
                                         a22 a23   a   a   a   a
                                 d1 =            + 11 13 + 11 12 ,
                                         a32 a33   a31 a33 a21 a22
т.е. совпадает с суммой миноров, дополнительных к диагональным элементам, и, наконец,
                                             d2 = a11 + a22 + a33 .

Страницы