ВУЗ:
Рубрика:
10 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пользуясь теоремой 3, получаем
x
1
=
1
∆
(M
11
b
1
− M
21
b
2
+ · · · + (−1)
n+1
M
n1
x
n
),
x
2
=
1
∆
(−M
12
b
1
+ M
22
b
2
− · · · + (−1)
n+2
M
n2
x
n
),
. . . .
x
i
=
1
∆
((−1)
i+1
M
1i
b
1
+ (−1)
i+2
M
2i
b
2
+ · · · + (−1)
i+n
M
ni
x
n
),
. . . .
x
n
=
1
∆
((−1)
n+1
M
1n
b
1
+ (−1)
n+2
M
2n
b
2
− · · · + M
nn
x
n
),
(17)
или
x
i
=
n
X
j=1
(−1)
i+j
M
ji
b
j
, j = 1, . . . , n, (18)
где M
ji
— минор дополнительный к элементу a
ji
.
Правило Крамера. Рассмотрим определители
∆
i
=
a
11
. . . a
1,i−1
b
1
a
1,i+1
. . . a
1n
a
21
. . . a
2,i−1
b
2
a
2,i+1
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n,i−1
b
1
a
n,i+1
. . . a
nn
, i = 1, . . . , n. (19)
Тогда формулу (17) для решений системы можно переписать в виде
x
1
=
∆
1
∆
, x
2
=
∆
2
∆
, . . . x
n
=
∆
n
∆
. (20)
Нахождение решений по формуле (20) называется правилом Крамера.
Метод Гаусса. Поскольку M — невырожденная матрица, хотя бы одно из чисел a
11
, . . . , a
n1
отлично от нуля. Без ограничения общности можно считать, что a
11
6= 0 (если это не так, строки
системы переставить так, чтобы отличный от нуля коэффициент a
ni
стал первым). Разделив
первую строку на a
11
и вычитая из i-й строки первую, умноженную на a
i1
, мы придём к системе
x
1
+ a
′
12
x
2
+ a
′
13
x
3
+ · · · + a
′
1n
x
n
= b
′
1
,
a
′
22
x
2
+ a
′
23
x
3
+ · · · + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
a
′
32
x
2
+ a
′
33
x
3
+ · · · + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . .
a
′
n2
x
2
+ a
′
n3
x
3
+ · · · + a
′
nn
x
n
= b
′
n
.
Система уравнений
a
′
22
x
2
+ a
′
23
x
3
+ · · · + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
a
′
32
x
2
+ a
′
33
x
3
+ · · · + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . .
a
′
n2
x
2
+ a
′
n3
x
3
+ · · · + a
′
nn
x
n
= b
′
n
также является невырожденной, и с ней можно проделать ту же процедуру, что и с исходной,
и т.д. В итоге мы придём к системе уравнений
x
1
+ a
′
12
x
2
+ a
′
13
x
3
+ · · · + a
′
1n
x
n
= b
′
1
,
x
2
+ a
′
23
x
3
+ · · · + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
x
3
+ · · · + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . .
x
n
= b
′
n
.
(21)
Это завершает первый этап решения по методу Гаусса.
10 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пользуясь теоремой 3, получаем
1
x1 = ∆ (M11 b1 − M21 b2 + · · · + (−1)n+1 Mn1 xn ),
1
x2 = ∆ (−M12 b1 + M22 b2 − · · · + (−1)n+2 Mn2 xn ),
. . . .
1 (17)
xi = ∆ ((−1)i+1 M1i b1 + (−1)i+2 M2i b2 + · · · + (−1)i+n Mni xn ),
....
1
xn = ∆ ((−1)n+1 M1n b1 + (−1)n+2 M2n b2 − · · · + Mnn xn ),
или
Xn
xi = (−1)i+j Mji bj , j = 1, . . . , n, (18)
j=1
где Mji — минор дополнительный к элементу aji .
Правило Крамера. Рассмотрим определители
a11 . . . a1,i−1 b1 a1,i+1 . . . a1n
a21 . . . a2,i−1 b2 a2,i+1 . . . a2n
∆i = .. .. .. .. .. .. .. , i = 1, . . . , n. (19)
. . . . . . .
an1 . . . an,i−1 b1 an,i+1 . . . ann
Тогда формулу (17) для решений системы можно переписать в виде
∆1 ∆2 ∆n
x1 = , x2 = , . . . xn = . (20)
∆ ∆ ∆
Нахождение решений по формуле (20) называется правилом Крамера.
Метод Гаусса. Поскольку M — невырожденная матрица, хотя бы одно из чисел a11 , . . . , an1
отлично от нуля. Без ограничения общности можно считать, что a11 6= 0 (если это не так, строки
системы переставить так, чтобы отличный от нуля коэффициент ani стал первым). Разделив
первую строку на a11 и вычитая из i-й строки первую, умноженную на ai1 , мы придём к системе
x1 + a′12 x2 + a′13 x3 + · · · + a′1n xn = b′1 ,
a′22 x2 + a′23 x3 + · · · + a′2n xn = b′2 ,
a′32 x2 + a′33 x3 + · · · + a′3n xn = b′3 ,
....
a′n2 x2 + a′n3 x3 + · · · + a′nn xn = b′n .
Система уравнений ′
a22 x2 + a′23 x3 + · · · + a′2n xn = b′2 ,
a′ x + a′ x + · · · + a′ x = b′ ,
32 2 33 3 3n n 3
. . . .
′
an2 x2 + a′n3 x3 + · · · + a′nn xn = b′n
также является невырожденной, и с ней можно проделать ту же процедуру, что и с исходной,
и т.д. В итоге мы придём к системе уравнений
′ ′ ′ ′
x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1 ,
x2 + a′23 x3 + · · · + a′2n xn = b′2 ,
x3 + · · · + a′3n xn = b′3 , (21)
....
xn = b′n .
Это завершает первый этап решения по методу Гаусса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
