Линейная алгебра. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Предложение 17 (основные свойства определителей). Пусть M — матрица и ∆ = ∆
M
— её
определитель. Тогда:
1) Определитель не изменится, если матрицу M заменить на транспонированную M
∗
= (a
ji
),
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
=
a
11
a
21
. . . a
n1
a
12
a
22
. . . a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
nn
;
2) определитель меняет знак, если поменять местами любые две его строки (столбца);
3) определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь двух строк (столбцов) пропорцио-
нальны;
4) общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбца) можно вынести за знак
определителя;
5) если все элементы какой-либо строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то и
определитель является суммой соответствующих определителей, например,
a
11
+ a
′
11
a
12
+ a
′
12
. . . a
1n
+ a
′
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
=
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
+
a
′
11
a
′
12
. . .
′
a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
;
6) определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить линейную комбина-
цию других строк;
7) определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов,
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
a
22
. . . a
nn
;
8) определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определите-
лей,
∆
M·N
= ∆
M
∆
N
.
Из последнего равенства и равенства (8) вытекает ещё один важный результат.
Следствие 5. Пусть A: V → V — линейный оператор и M — его матрица в каком-нибудь
базисе пространства V . Тогда определитель ∆
M
не зависит от выбора базиса, а определяется
самим оператором A.
Определение 19. Пусть M— квадратная матрица и a
ij
— её элемент. Минором, дополнитель-
ным к этому элементу, называется определитель матрицы, полученной из M вычёркиванием i-й
строки и j-го столбца. Этот определитель обозначается через M
ij
. Величина A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
называется алгебраическим дополнением элемента a
ij
.
Теорема 2 (о разложении по строке или столбцу). Пусть M = (a
ij
) — матрица размера n × n.
Тогда для любых i и j имеют место тождества
∆
M
= (−1)
i+1
a
i1
M
i1
+ (−1)
i+2
a
i2
M
i2
+ · · · + (−1)
i+n
a
in
M
in
(11)
и
∆
M
= (−1)
j+1
a
1j
M
1j
+ (−1)
j+2
a
2j
M
2j
+ · · · + (−1)
j+n
a
nj
M
nj
(12)
Равенство (11) называется разложением определителя по i-й строке, а равенство (12) — раз-
ложением по j-му столбцу.
Вычисление обратных матриц. Следствием теоремы 2 является другая важная теорема.
8                                          ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

  Предложение 17 (основные свойства определителей). Пусть M — матрица и ∆ = ∆M — её
определитель. Тогда:
   1) Определитель не изменится, если матрицу M заменить на транспонированную M ∗ = (aji ),
                             a11    a12   . . . a1n   a11 a21 . . . an1
                             a21    a22   . . . a2n   a12 a22 . . . an2
                              ..     ..   ..     .. = ..   .. ..     .. ;
                               .      .       .   .    .    .     .   .
                             an1 an2      . . . ann   a1n a2n . . . ann
     2) определитель меняет знак, если поменять местами любые две его строки (столбца);
     3) определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь двух строк (столбцов) пропорцио-
        нальны;
     4) общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбца) можно вынести за знак
        определителя;
     5) если все элементы какой-либо строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то и
        определитель является суммой соответствующих определителей, например,
         a11 + a′11 a12 + a′12 . . . a1n + a′1n   a11 a12 . . . a1n   a′11 a′12 . . .   ′a
                                                                                          1n
            a21        a22     ...      a2n       a21 a22 . . . a2n   a21 a22 . . .     a2n
             ..         ..     ..        ..     = ..   .. ..     .. + ..     .. ..       .. ;
              .          .         .      .        .    .     .   .     .     .     .     .
            an1        an2     ...      ann       an1 an2 . . . ann  an1 an2 . . .      ann
     6) определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить линейную комбина-
        цию других строк;
     7) определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов,
                                   a11 a12 . . . a1n
                                    0 a22 . . . a2n
                                    ..  .. ..     .. = a11 a22 . . . ann ;
                                     .   .     .   .
                                    0   0 . . . ann
     8) определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определите-
        лей,
                                       ∆M ·N = ∆M ∆N .
    Из последнего равенства и равенства (8) вытекает ещё один важный результат.
  Следствие 5. Пусть A : V → V — линейный оператор и M — его матрица в каком-нибудь
базисе пространства V . Тогда определитель ∆M не зависит от выбора базиса, а определяется
самим оператором A.
  Определение 19. Пусть M — квадратная матрица и aij — её элемент. Минором, дополнитель-
ным к этому элементу, называется определитель матрицы, полученной из M вычёркиванием i-й
строки и j-го столбца. Этот определитель обозначается через Mij . Величина Aij = (−1)i+j Mij
называется алгебраическим дополнением элемента aij .
  Теорема 2 (о разложении по строке или столбцу). Пусть M = (aij ) — матрица размера n × n.
Тогда для любых i и j имеют место тождества
                    ∆M = (−1)i+1 ai1 Mi1 + (−1)i+2 ai2 Mi2 + · · · + (−1)i+n ain Min            (11)
и
                   ∆M = (−1)j+1 a1j M1j + (−1)j+2 a2j M2j + · · · + (−1)j+n anj Mnj             (12)
  Равенство (11) называется разложением определителя по i-й строке, а равенство (12) — раз-
ложением по j-му столбцу.

Вычисление обратных матриц. Следствием теоремы 2 является другая важная теорема.

Страницы