Линейная алгебра. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 7
Если оператор A обратим и ему соответствует матрица M, то матрица, соответствующая опе-
ратору A
−1
, называется обратной к матрице M и обозначается через M
−1
. Таким образом,
M · M
−1
= M
−1
· M = I. (7)
Наша задача — научиться определять, когда матрица обратима и вычислять обратную матрицу,
если она существует.
Замечание 1. Матрицы перехода от векторов одного базиса к другому всегда обратимы. По-
этому равенство (6) можно переписать в виде
M
′
= F
−1
· M · G.
В частности, если линейный оператор действует из пространства V то же самое пространство, то
M
′
= F
−1
· M · F. (8)
Подстановки и перестановки.
Определение 16. Подстановкой длины n называется взаимно-однозначное отображение мно-
жества первых n натуральных чисел в себя. Множество перестановок длины n обозначается че-
рез Σ
n
. Композиция таких отображений называется композицией подстановок.
Подстановку σ ∈ Σ
n
принято представлять таблицей
σ =
1 2 . . . k . . . n
i
1
i
2
. . . i
k
. . . i
n
, 1 6 i
k
6 n, i
α
6= i
β
,
которая означает, что σ(1) = i
1
, σ(2) = i
2
, . . . , σ(n) = i
n
. Нижняя строчка этой таблицы называ-
ется перестановкой. Количество подстановок (и перестановок) длины n равно n!.
Пример 9. Существует шесть разных подстановок длины три:
σ
1
=
1 2 3
1 2 3
, σ
2
=
1 2 3
1 3 2
, σ
3
=
1 2 3
2 3 1
, (9)
σ
4
=
1 2 3
2 1 3
, σ
5
=
1 2 3
3 2 1
, σ
6
=
1 2 3
3 1 2
.
Простейшими подстановками являются транспозиции — подстановки, которые переставляют
между собой два элемента, а остальные оставляют на месте:
1 2 . . . i . . . j . . . n
1 2 . . . j . . . i . . . n
.
Например, среди подстановок (9) транспозициями являются σ
2
, σ
4
и σ
5
.
Предложение 16. Любую подстановку можно представить в виде композиции транспозиций.
При любом таком разложении количество участвующих в нём транспозиций либо всегда чётно,
либо нечётно.
Определение 17. Подстановка (и соответствующая перестановка) называется чётной, если её
можно разложить в композицию чётного числа транспозиций. В противном случае она называется
нечётной. Чётность подстановки σ обозначается через |σ|.
Так в примере 9 подстановки σ
1
, σ
3
и σ
6
— чётные, а σ
2
, σ
4
и σ
5
— нечётные.
Определители и их свойства.
Определение 18. Пусть M = (a
ij
) — матрица, i, j = 1, . . . , n. Её определителем (или детер-
минантом) называется выражение
∆
M
=
X
σ∈Σ
n
(−1)
|σ |
a
1i
1
a
2i
2
. . . a
a
ni
n
. (10)
Матрица M называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля.
Для определителя используются также обозначения |a
ij
|, |M| и det M.
                                        ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА                                            7

  Если оператор A обратим и ему соответствует матрица M , то матрица, соответствующая опе-
ратору A−1 , называется обратной к матрице M и обозначается через M −1 . Таким образом,
                                     M · M −1 = M −1 · M = I.                                     (7)
Наша задача — научиться определять, когда матрица обратима и вычислять обратную матрицу,
если она существует.
  Замечание 1. Матрицы перехода от векторов одного базиса к другому всегда обратимы. По-
этому равенство (6) можно переписать в виде
                                         M ′ = F −1 · M · G.
В частности, если линейный оператор действует из пространства V то же самое пространство, то
                                         M ′ = F −1 · M · F.                                      (8)

Подстановки и перестановки.
  Определение 16. Подстановкой длины n называется взаимно-однозначное отображение мно-
жества первых n натуральных чисел в себя. Множество перестановок длины n обозначается че-
рез Σn . Композиция таких отображений называется композицией подстановок.
  Подстановку σ ∈ Σn принято представлять таблицей
                                                 
                          1 2 ... k ... n
                    σ=                              , 1 6 ik 6 n, iα 6= iβ ,
                          i1 i2 . . . ik . . . in
которая означает, что σ(1) = i1 , σ(2) = i2 , . . . , σ(n) = in . Нижняя строчка этой таблицы называ-
ется перестановкой. Количество подстановок (и перестановок) длины n равно n!.
  Пример 9. Существует шесть      разных подстановок длины три:
                                                                       
                         1 2       3          1 2 3             1       2 3
                  σ1 =                , σ2 =           , σ3 =                 ,                   (9)
                         1 2       3          1 3 2             2       3 1
                                                                       
                         1 2       3          1 2 3             1       2 3
                  σ4 =                , σ5 =           , σ6 =                 .
                         2 1       3          3 2 1             3       1 2
  Простейшими подстановками являются транспозиции — подстановки, которые переставляют
между собой два элемента, а остальные оставляют на месте:
                                                         
                                 1 2 ... i ... j ... n
                                                            .
                                 1 2 ... j ... i ... n
Например, среди подстановок (9) транспозициями являются σ2 , σ4 и σ5 .
  Предложение 16. Любую подстановку можно представить в виде композиции транспозиций.
При любом таком разложении количество участвующих в нём транспозиций либо всегда чётно,
либо нечётно.
  Определение 17. Подстановка (и соответствующая перестановка) называется чётной, если её
можно разложить в композицию чётного числа транспозиций. В противном случае она называется
нечётной. Чётность подстановки σ обозначается через |σ|.
  Так в примере 9 подстановки σ1 , σ3 и σ6 — чётные, а σ2 , σ4 и σ5 — нечётные.

Определители и их свойства.
  Определение 18. Пусть M = (aij ) — матрица, i, j = 1, . . . , n. Её определителем (или детер-
минантом) называется выражение
                                   X
                           ∆M =       (−1)|σ| a1i1 a2i2 . . . aanin .                      (10)
                                        σ∈Σn
Матрица M называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля.
 Для определителя используются также обозначения |aij |, |M | и det M .

Страницы