ВУЗ:
Рубрика:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 5
Следствие 4. Все векторные пространства размерности n попарно между собой изоморфны
и изоморфны n-мерному арифметическому пространству.
Пусть V и W — векторные пространства размерности n и m соответственно и e
1
, . . . , e
n
∈ V ,
f
1
, . . . , f
n
∈ W — их базисы. Если A: V → W — линейный оператор, то каждый вектор A(e
i
)
представляется в виде
A(e
i
) = a
i1
f
1
+ a
i2
f
2
+ · · · + a
in
f
n
, i = 1, . . . , n, a
ij
∈ R, j = 1, . . . , m . (2)
Определение 15. Таблица
M =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
, (3)
состоящая из n столбцов и m строк, называется матрицей (размера n × m) оператора A, запи-
санной в базисах e
1
, . . . , e
n
и f
1
, . . . , f
n
. Если m = n, то матрица называется квадратной.
Пример 8. Оператору A
λ
из примера 4 соответствует матрица
λ 0 . . . 0
0 λ . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
,
называемая скалярной. Если λ = 1, то эта матрица называется единичной и обозначается через I.
Заметим также, что матрицы вида
λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
n
называются диагональными.
Предложение 12. При выбранных базисах пространств V и W каждый линейный оператор
однозначно определяется своей матрицей. При этом, если v = λ
1
e
1
+ · · · + λ
n
e
n
, то
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
=
µ
1
µ
2
.
.
.
µ
m
,
где
µ
i
= a
i1
λ
1
+ a
i2
λ
2
+ · · · + a
in
λ
n
=
n
X
j=1
a
ij
λ
j
, i = 1, . . . , m. (4)
Вектор (µ
1
, . . . , µ
m
) ∈ R
m
, вычисляемый по формуле (4), называется результатом действия
матрицы M на вектор (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ R
n
.
Предложение 13. Пусть A, B : V → W — линейные операторы и M = (a
ij
), N = (b
ij
) —
матрицы, соответствующие этим операторам в некоторых выбранных базисах. Тогда их сумме
соответствует матрица
M + N =
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . . a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
. . . a
2n
+ b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2
. . . a
mn
+ b
mn
,
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 5
Следствие 4. Все векторные пространства размерности n попарно между собой изоморфны
и изоморфны n-мерному арифметическому пространству.
Пусть V и W — векторные пространства размерности n и m соответственно и e1 , . . . , en ∈ V ,
f1 , . . . , fn ∈ W — их базисы. Если A : V → W — линейный оператор, то каждый вектор A(ei )
представляется в виде
A(ei ) = ai1 f1 + ai2 f2 + · · · + ain fn , i = 1, . . . , n, aij ∈ R, j = 1, . . . , m. (2)
Определение 15. Таблица
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
M = .. .. .. , (3)
..
. . . .
am1 am2 . . . amn
состоящая из n столбцов и m строк, называется матрицей (размера n × m) оператора A, запи-
санной в базисах e1 , . . . , en и f1 , . . . , fn . Если m = n, то матрица называется квадратной.
Пример 8. Оператору Aλ из примера 4 соответствует матрица
λ 0 ... 0
0 λ . . . 0
.. .. . . .. ,
. . . .
0 0 ... λ
называемая скалярной. Если λ = 1, то эта матрица называется единичной и обозначается через I.
Заметим также, что матрицы вида
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
.. .. . . .
. . . ..
0 0 . . . λn
называются диагональными.
Предложение 12. При выбранных базисах пространств V и W каждый линейный оператор
однозначно определяется своей матрицей. При этом, если v = λ1 e1 + · · · + λn en , то
a11 a12 . . . a1n λ1 µ1
a21 a22 . . . a2n λ2 µ2
.. .. = .. ,
.. .. ..
. . . . . .
am1 am2 . . . amn λn µm
где
n
X
µi = ai1 λ1 + ai2 λ2 + · · · + ain λn = aij λj , i = 1, . . . , m. (4)
j=1
Вектор (µ1 , . . . , µm ) ∈Rm ,вычисляемый по формуле (4), называется результатом действия
матрицы M на вектор (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn .
Предложение 13. Пусть A, B : V → W — линейные операторы и M = (aij ), N = (bij ) —
матрицы, соответствующие этим операторам в некоторых выбранных базисах. Тогда их сумме
соответствует матрица
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
M +N =
.. .. . . ..
. . . .
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
