Линейная алгебра. - 4 стр.

4                                                ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

     3) Система векторов e1 , . . . , en называется (конечным) базисом пространства V , если любой
        вектор v ∈ V является их линейной комбинацией, причём представление
                                            v = λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λn en
         единственно. В этом случае пространство называется конечномерным. Числа λi называются
         координатами вектора в данном базисе.
    Теорема 1. Если e1 , . . . , en и e′1 , . . . , e′n′ — базисы пространства V , то n = n′ .
  Таким образом, если пространство конечномерно, то количество векторов во всех базисах этого
пространства одинаково.
  Определение 12. Количество векторов в базисе конечномерного пространства V называется
размерностью этого пространства и обозначается через dim V .
    Пример 7. Векторы
                                                   ε1 = (1, 0, . . . , 0),
                                                   ε2 = (0, 1, . . . , 0),
                                                     ....
                                                   εn = (0, 0, . . . , 1)
образуют базис пространства Rn . Значит, оно n-мерно.
   Предложение 8. Если V ′ ⊂ V — подпространство, то dim V ′ 6 dim V и равенство достигается
в том и только том случае, когда V ′ = V .
  Предложение 9. Пусть V и W — конечномерные векторные пространства и e1 , . . . , en — базис
пространства V . Тогда для любого набора векторов v1 , . . . , vn ∈ W существует и единственным
образом определён такой линейный оператор A : V → W , что
                                             A(ei ) = vi ,      i = 1, . . . , n.
    Следствие 2. Если dim V = n, dim W = m, то dim Lin(V, W ) = mn.
    Определение 13. Пусть v1 , . . . , vr ∈ V . Множество
                                                       r
                                                       X
                           L(v1 , . . . , vr ) = { v =   λi vi | λi ∈ R },
                                                                i=1
образованное всевозможными линейными комбинациями векторов v1 , . . . , vr , называется их ли-
нейной оболочкой.
    Предложение 10. Линейная оболочка является подпространством.
  Определение 14. Рангом системы векторов v1 , . . . , vr ∈ V называется размерность её линей-
ной оболочки. Ранг системы обозначается через rank(v1 , . . . , vr ).
    Таким образом, rank(v1 , . . . , vr ) = dim L(v1 , . . . , vr ).
    Следствие 3. Если v1 , . . . , vr ∈ V , то rank(v1 , . . . , vr ) 6 dim V .


    3. Матрицы и определители
  Пусть V — конечномерное векторное пространство и e1 , . . . , en — его базис. Рассмотрим век-
тор v = λ1 e1 + · · · + λn en ∈ V и сопоставим ему элемент (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn n-мерного арифметиче-
ского пространства.
    Предложение 11. Построенное отображение является изоморфизмом между V и Rn .