Линейная алгебра. - 2 стр.

2                                     ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    Пример 4. Пусть λ ∈ R. Тогда отображение Aλ : V → V , действующее по правилу
                                     Aλ (v) = λv,      v ∈ V,
является линейным оператором, который называется оператором умножения на число λ.
    Определение 4. Пусть A : V → W — линейный оператор. Множество
                                ker A = { v ∈ V | A(v) = 0 } ⊂ V
называется ядром оператора A. Множество
                           im A = { w ∈ W | ∃v ∈ V : w = A(v) } ⊂ W
называется образом оператора A.
  Предложение 2. Ядро и образ любого линейного оператора являются подпространствами
пространств V и W соответственно.
   Определение 5. Линейный оператор A : V → W называется изоморфизмом, если ker A = 0,
а im A = W . Если A — изоморфизм, то пространства V и W называются изоморфными.
    Пример 5. Пусть Aλ оператор умножения на λ (см. пример 4). Тогда
                                          (
                                           0, если λ 6= 0,
                                 ker Aλ =
                                           V, если λ = 0,
и                                          (
                                            V,      если λ 6= 0,
                                   im Aλ =
                                            0,      если λ = 0.
  Определение 6. Пусть U , V и W — векторные пространства, а A : U → V , B : V → W —
линейные операторы. Отображение B ◦A : U → W , действующее по правилу (B ◦A)(u) = B(A(u)),
                               (B ◦ A)(u) = B(A(u)),         u ∈ U,
называется композицией (или произведением) операторов A и B.
    Предложение 3. Композиция линейных операторов является линейным оператором.
  Определение 7. Пусть A, B : V → W — линейные операторы. Отображение A + B : V → W ,
действующее по правилу
                           (A + B)(v) = A(v) + B(v),    v ∈ V,
называется суммой операторов A и B. Если λ — число, то отображение
                                  (λA)(v) = λA(v),        v ∈ V,
называется произведение оператора на число.
  Предложение 4. Если A и B — линейные операторы, а λ — действительное число, то A + B
и λA — также линейные операторы.
    Пример 6. Если λ и µ — действительные числа, то выполняются равенства
                              Aλ + Aµ = Aλ+µ ,      Aλ ◦ Aµ = Aλµ .
  Предложение 5. Операции над линейными операторами, введённые в определениях 6 и 7,
обладают следующими свойствами:
                                  A + B = B + A,
                                  A + (B + C) = (A + B) + C,
                                  0 + A = A + 0 = A,
                                  − A = (−1) · A,
                                  λ(µA) = (λµ)A,