Линейная алгебра. - 3 стр.

                                          ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА                                        3

                                    λ(A + B) = λA + λB,
                                    1 · A = A.

Кроме того, имеют место следующие тождества:

                                    A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C,
                                    A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C,
                                    (A + B) ◦ C = A ◦ C + B ◦ C.
  Следствие 1. Множество линейных операторов, действующих из векторного пространства V
векторное пространство W , само образует векторное пространство, которое обозначается че-
рез Lin(V, W ).
  Определение 8. Если A, B ∈ Lin(V, V ), то оператор
                                        [A, B] = A ◦ B − B ◦ A
называется коммутатором операторов A и B.
  Определение 9. Оператор E = EV , действующий из пространства V в пространство V по
правилу
                               E(v) = v,    v ∈ V,
называется тождественным. Оператор A ∈ Lin(V, V ) называется обратимым, если существует
такой оператор A−1 ∈ Lin(V, V ), что
                                       A ◦ A−1 = A−1 ◦ A = E.
При этом оператор A−1 называется обратным к оператору A.
  Предложение 6. Для любого линейного оператора A : V → W выполняются равенства
                                        EW ◦ A = A ◦ EV = A.
  Определение 10. Пусть A : V → V — линейный оператор. Число λ ∈ R называется собствен-
ным значением этого оператора, если существует такой вектор v 6= 0, что
                                               A(v) = λv.                                       (1)
При этом v называется собственным вектором, отвечающим собственному значению λ.
  Предложение 7. Множество собственных векторов, отвечающих некоторому λ, образует ли-
нейное подпространство в V .
  Это подпространство называется собственным подпространством и, как правило, обозначает-
ся через Vλ .


  2. Базисы и размерность
  Определение 11. Пусть V — векторное пространство.
   1) Линейной комбинацией векторов v1 , . . . , vr ∈ V называется вектор
                       v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr ,    λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ R.
   2) Векторы v1 , . . . , vr называются линейно зависимыми, если
                                    λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr = 0,
     где хотя бы одно из чисел λ1 , λ2 , . . . , λr не равно нулю. В противном случае векторы назы-
     ваются линейно независимыми.