Линейная алгебра. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
которая называется суммой матриц M и N, а оператору λA — матрица
λM =
λa
11
λa
12
. . . λa
1n
λa
21
λa
22
. . . λa
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λa
m1
λa
m2
. . . aλ
mn
— результат у множения матрицы на число λ.
Таким образом, множество матриц образует векторное пространство, обычно обозначаемое че-
рез Mat(n, m). Его размерность равна nm.
Сопоставим каждой матрице вида (3) матрицу
M
∗
=
a
11
a
21
. . . a
m1
a
12
a
22
. . . a
m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
mn
. (5)
Матрица M
∗
называется транспонированной к матрице M и имеет размер m × n. Таким обра-
зом, операция транспонирования матриц является отображением из пространства Mat(n, m) в
пространство Mat(m, n).
Предложение 14. Отображение транспонирования ∗: Mat(n, m) → Mat(m, n) является ли-
нейным, причём ∗ ◦ ∗ = id, т.е.
(M
∗
)
∗
= M
для любой матрицы M.
Если M — квадратная матрица и M
∗
= M , то эта матрица называется симметрической. Таким
образом, симметрические матрицы характеризуются свойством
a
ij
= a
ji
для любых i, j = 1, . . . , n.
Предложение 15. Пусть A : U → V , B : V → W — линейные операторы, где U, V и W —
векторные пространства размерностей n, m и k соответственно. Тогда, если этим операторам
соответствуют матрицы M = (a
il
) и N = (b
lj
), то их композиции соответствует матрица M · N =
(c
ij
) размерности n × k, где
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ · · · + a
im
b
mj
=
m
X
s=1
a
is
b
sj
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k.
Матрица M · N называется произведением (или композицией) матриц M и N .
Преобразование матриц при замене базисов. Пусть A : V → W — некоторый линейный
оператор и M = (a
ij
) — его матрица, записанная в базисах e
1
, . . . , e
n
и f
1
, . . . , f
m
пространств V
и W соответственно. Пусть e
′
1
, . . . , e
′
n
и f
′
1
, . . . , f
′
m
— другие базисы этих пространств. Тогда в этих
базисах оператор A будет представлен матрицей M
′
= (a
′
ij
). С другой стороны, векторы старых
базисов выражаются через новые:
e
i
= b
i1
e
′
1
+ · · · + b
in
e
′
n
, i = 1, . . . , n,
f
j
= c
j1
f
′
1
+ · · · + c
jm
f
′
m
, j = 1, . . . , m.
Пусть F = (b
il
) и G = (c
lj
) — соответствующие матрицы (размерности n × n и m × m). Тогда
F · M
′
= M · G. (6)
6                                                 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

которая называется суммой матриц M и N , а оператору λA — матрица
                                                         
                                    λa11 λa12 . . . λa1n
                                   λa21 λa22 . . . λa2n 
                            λM =  ..
                                                         
                                             ..   ..   .. 
                                   .         .      .  . 
                                    λam1 λam2 . . . aλmn
— результат умножения матрицы на число λ.
  Таким образом, множество матриц образует векторное пространство, обычно обозначаемое че-
рез Mat(n, m). Его размерность равна nm.
  Сопоставим каждой матрице вида (3) матрицу
                                                         
                                        a11 a21 . . . am1
                                       a12 a22 . . . am2 
                                M ∗ =  ..   ..        ..  .                          (5)
                                                         
                                                . .
                                       .     .     .   . 
                                                     a1n a2n . . . amn
Матрица M ∗ называется транспонированной к матрице M и имеет размер m × n. Таким обра-
зом, операция транспонирования матриц является отображением из пространства Mat(n, m) в
пространство Mat(m, n).
  Предложение 14. Отображение транспонирования ∗ : Mat(n, m) → Mat(m, n) является ли-
нейным, причём ∗ ◦ ∗ = id, т.е.
                                   (M ∗ )∗ = M
для любой матрицы M .
  Если M — квадратная матрица и M ∗ = M , то эта матрица называется симметрической. Таким
образом, симметрические матрицы характеризуются свойством
                                                        aij = aji
для любых i, j = 1, . . . , n.
   Предложение 15. Пусть A : U → V , B : V → W — линейные операторы, где U , V и W —
векторные пространства размерностей n, m и k соответственно. Тогда, если этим операторам
соответствуют матрицы M = (ail ) и N = (blj ), то их композиции соответствует матрица M · N =
(cij ) размерности n × k, где
                                                             m
                                                             X
            cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aim bmj =            ais bsj ,        i = 1, . . . , n,   j = 1, . . . , k.
                                                             s=1

    Матрица M · N называется произведением (или композицией) матриц M и N .
Преобразование матриц при замене базисов. Пусть A : V → W — некоторый линейный
оператор и M = (aij ) — его матрица, записанная в базисах e1 , . . . , en и f1 , . . . , fm пространств V
и W соответственно. Пусть e′1 , . . . , e′n и f1′ , . . . , fm
                                                             ′ — другие базисы этих пространств. Тогда в этих

базисах оператор A будет представлен матрицей M ′ = (a′ij ). С другой стороны, векторы старых
базисов выражаются через новые:
                                 ei = bi1 e′1 + · · · + bin e′n ,         i = 1, . . . , n,
                                 fj =   cj1 f1′   + ··· +        ′
                                                            cjm fm ,           j = 1, . . . , m.
Пусть F = (bil ) и G = (clj ) — соответствующие матрицы (размерности n × n и m × m). Тогда
                                                    F · M ′ = M · G.                                                        (6)

Страницы