Линейная алгебра. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 9
Теорема 3. Квадратная матрица M = (a
ij
) обратима тогда и только тогда, когда её опреде-
литель не равен нулю. При этом обратная матрица имеет вид
M
−1
=
1
∆
M
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
. . . A
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
1n
A
2n
. . . A
nn
, (13)
где A
ji
— алгебраические дополнения.
4. Системы линейных уравнений
Определение 20. Пусть V и W — векторные пространства размерности n и m соответственно
и w ∈ W — вектор. Системой из m уравнений с n неизвестными, наложенной на неизвестный
вектор x, называется уравнение
A(x) = w. (14)
Вектор v ∈ V называется решением системы (14), если A(v) = w. Вектор w называется правой
частью системы. Система называется однородной, если w = 0.
Система называется невырожденной, если V = W и A — обратимый оператор.
Предложение 18. Множество S решений однородной системы A(x) = 0 является векторным
подпространством пространства V . Если x = v
0
— некоторое решение системы A(x) = w, то x =
v
0
+ v, v ∈ S, — также решение этой системы и любое её решение имеет такой вид.
Если в пространствах V и W выбрать базисы и представить оператор A матрицей M = (a
ij
),
а вектор w — набором его координат b
1
, . . . , b
m
, то система (14) перепишется в виде
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
.
(15)
Решение невырожденных систем. Если (14) — невырожденная система, то она имеет един-
ственное решение
x = A
−1
(w). (16)
Как практически найти вектор x?
Замечание 2. Если в невырожденной системе (14) (такие системы называются однородными)
вектор w равен нулю, то её единственным решением является x = 0.
Метод обратной матрицы. В силу (16), решение имеет вид
x
1
x
2
.
.
.
x
n
= M
−1
b
1
b
2
.
.
.
b
n
.
                                       ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА                                    9

  Теорема 3. Квадратная матрица M = (aij ) обратима тогда и только тогда, когда её опреде-
литель не равен нулю. При этом обратная матрица имеет вид
                                                           
                                         A11 A21 . . . An1
                                        A12 A22 . . . An2 
                                     1                     
                            M −1 =      .     ..  ..    ..  ,                       (13)
                                   ∆M  ..      .     .   . 
                                         A1n A2n . . . Ann

где Aji — алгебраические дополнения.




  4. Системы линейных уравнений
  Определение 20. Пусть V и W — векторные пространства размерности n и m соответственно
и w ∈ W — вектор. Системой из m уравнений с n неизвестными, наложенной на неизвестный
вектор x, называется уравнение
                                             A(x) = w.                                  (14)
Вектор v ∈ V называется решением системы (14), если A(v) = w. Вектор w называется правой
частью системы. Система называется однородной, если w = 0.
  Система называется невырожденной, если V = W и A — обратимый оператор.

   Предложение 18. Множество S решений однородной системы A(x) = 0 является векторным
подпространством пространства V . Если x = v0 — некоторое решение системы A(x) = w, то x =
v0 + v, v ∈ S, — также решение этой системы и любое её решение имеет такой вид.

   Если в пространствах V и W выбрать базисы и представить оператор A матрицей M = (aij ),
а вектор w — набором его координат b1 , . . . , bm , то система (14) перепишется в виде
                            
                              a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
                             11 1
                            
                            
                             a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ,
                                                                                        (15)
                            
                             ....
                            
                              am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm .
                            


Решение невырожденных систем. Если (14) — невырожденная система, то она имеет един-
ственное решение
                                            x = A−1 (w).                                (16)
Как практически найти вектор x?

  Замечание 2. Если в невырожденной системе (14) (такие системы называются однородными)
вектор w равен нулю, то её единственным решением является x = 0.


Метод обратной матрицы. В силу (16), решение имеет вид
                                           
                                x1            b1
                               x2          b2 
                               ..  = M −1  ..  .
                                           
                               .          .
                                       xn                bn

Страницы