Линейная алгебра. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 11
Второй этап состоит из следующих шагов. Из последнего уравнения системы (21) находим x
n
.
Подставляя x
n
в предпоследнее уравнение, находим x
n−1
и т.д. В итоге мы найдём значения всех
неизвестных x
1
, . . . , x
n
.
Метод Гаусса называется также методом последовательного исключения неизвестных.
Решение произвольных систем. Пусть N = (c
ij
) — произвольная матрица, i = 1, . . . , k, j =
1, . . . , l.
Предложение 19. Ранг системы векторов
c
1
= (c
11
, c
12
, . . . , c
1l
),
c
2
= (c
21
, c
22
, . . . , c
2l
),
. . . .
c
k
= (c
k1
, c
k2
, . . . , c
kl
)
совпадает с рангом системы
c
∗
1
= (c
11
, c
21
, . . . , c
k1
),
c
∗
2
= (c
12
, c
22
, . . . , c
k2
),
. . . .
c
∗
l
= (c
1l
, c
2l
, . . . , c
kl
).
Определение 21. Рангом матрицы N называется ранг системы векторов, составленной из её
строк или столбцов. Ранг матрицы обозначается через rank N.
Определение 22. Пусть
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
(22)
— система линейных уравнений. Матрица
˜
M =
a
11
a
12
. . . a
1n
b
1
a
21
a
22
. . . a
2n
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
b
m
называется расширенной матрицей этой системы.
Теорема 4 (теорема Кронекера–Капелли). Система (22) имеет решение тогда и только тогда,
когда ранг r её матрицы M = (a
ij
) совпадает с рангом её расширенной матрицы
˜
M. При этом
решение системы зависит от произвольных n − r параметров. В частности, система имеет един-
ственное решение, если n = r.
Собственные значения и собственные векторы. Пусть A: V → V — линейный оператор
и M — его матричная запись в некотором базисе пространства V . Как, пользуясь матрицей M,
найти собственные значения и собственные векторы оператора A?
Пусть v 6= 0 — собственный вектор, соответствующий собственному значению λ, и x
1
, . . . , x
n
—
его координаты, а a
ij
— элементы матрицы M. Тогда из определения 10 следует, что должны
выполняться равенства
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= λx
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= λx
2
,
                                       ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА                                        11

  Второй этап состоит из следующих шагов. Из последнего уравнения системы (21) находим xn .
Подставляя xn в предпоследнее уравнение, находим xn−1 и т.д. В итоге мы найдём значения всех
неизвестных x1 , . . . , xn .
  Метод Гаусса называется также методом последовательного исключения неизвестных.

Решение произвольных систем. Пусть N = (cij ) — произвольная матрица, i = 1, . . . , k, j =
1, . . . , l.
  Предложение 19. Ранг системы векторов
                                      c1 = (c11 , c12 , . . . , c1l ),
                                      c2 = (c21 , c22 , . . . , c2l ),
                                        ....
                                      ck = (ck1 , ck2 , . . . , ckl )
совпадает с рангом системы
                                      c∗1 = (c11 , c21 , . . . , ck1 ),
                                      c∗2 = (c12 , c22 , . . . , ck2 ),
                                         ....
                                      c∗l = (c1l , c2l , . . . , ckl ).
  Определение 21. Рангом матрицы N называется ранг системы векторов, составленной из её
строк или столбцов. Ранг матрицы обозначается через rank N .
  Определение 22. Пусть
                             
                             
                              a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
                             
                             a x + a x + · · · + a x = b ,
                                21 1     22 2             2n n     2
                                                                                             (22)
                             
                             
                              ....
                               am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
                             

— система линейных уравнений. Матрица
                                                                             
                                   a11           a12      ...     a1n     b1
                                  a21           a22      ...     a2n     b2 
                            M̃ =  ..             ..               ..      .. 
                                                                             
                                                          ..
                                  .               .         .      .       . 
                                        am1 am2 . . . amn bm
называется расширенной матрицей этой системы.
  Теорема 4 (теорема Кронекера–Капелли). Система (22) имеет решение тогда и только тогда,
когда ранг r её матрицы M = (aij ) совпадает с рангом её расширенной матрицы M̃ . При этом
решение системы зависит от произвольных n − r параметров. В частности, система имеет един-
ственное решение, если n = r.

Собственные значения и собственные векторы. Пусть A : V → V — линейный оператор
и M — его матричная запись в некотором базисе пространства V . Как, пользуясь матрицей M ,
найти собственные значения и собственные векторы оператора A?
  Пусть v 6= 0 — собственный вектор, соответствующий собственному значению λ, и x1 , . . . , xn —
его координаты, а aij — элементы матрицы M . Тогда из определения 10 следует, что должны
выполняться равенства
                               a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = λx1 ,
                               a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = λx2 ,

Страницы