Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-13-
()
ft
f
t()
*
≈ , где
*
()
()
f
t
nt
Nt
=
Δ
Δ
- оценка частоты отказов.
Здесь N - число изделий, поставленных на испытания,
Δ
nt()
- число отказавших изделий
на участке времени (t, t + Δt).
0 t t + Δt T
1.9 Интенсивность отказов λ(t).
Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия на промежутке времени от
t
до
1
t
при условии, что изделие до момента времени
t
не отказывало.
Обозначим эту вероятность через
(
)
P
tt
,
1
.
Δ
t
0 T
t
1
t
Событие А - изделие работало безотказно на интервале времени от 0 до
t
.
Событие В - изделие работало безотказно на интервале времени от
t
до
1
t
(
1
t
=
t
+
Δ
t
)
AB - произведение событий А и В. Произведением событий А и В является событие,
заключающееся в совместном появлении этих событий.
P(AB) = P(A) P(B/A).
P(B/A) - условная вероятность события B при условии, что событие А произошло (имело
место).
P(A) = P(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t
P(B/A) = P(AB) / P(A); P(B/A) = P
(
)
tt
,
1
.
Но вероятность P(AB) есть вероятность безотказной работы изделия на интервале
()
(
)
(
)
00
11
,,,
ttt t
+=;
т.е. P(AB) = P
(
)
1
t
.
Поэтому
P(
(
)
()
tt
P
t
P
t
,)
1
1
= .
Вероятность отказа изделия на интервале
(
)
tt
,
1
равна
() ()
()
()
(
)
(
)
()
q
tt
P
tt
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
,,
11
1
1
11=− =− =
−
;
Так как
1
t
=
t
+ Δ
t
, то
()
(
)
(
)
()
q
tt t
P
t
P
tt
P
t
, +=
−+
Δ
Δ
;
()
(
)
(
)
q
tt t
P
t
P
tt
t
, +=
−+
Δ
Δ
Δ
()
×
1
P
t
t
Δ ;
()
(
)( )
()
(
) ()
()
ΔΔ Δ
Δ
Δ
Δ
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
tt t
qtt t
Pt Pt t
t
t
Pt
Pt t Pt
t
t
Pt
P
t
Pt
t
→→ →
+=
−+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
×=−
+−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
×=−
00 0
lim
,
lim lim
()
()
|
; 
                                                                      -13-
                                         Δn( t )
                        f ( t ) ≈ f * ( t ) , где     f * ( t) =
                                                 - оценка частоты отказов.
                                          NΔt
 Здесь N - число изделий, поставленных на испытания, Δn( t ) - число отказавших изделий
на участке времени (t, t + Δt).

                                 0                        t                t + Δt                          T


                                          1.9 Интенсивность отказов λ(t).

 Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия на промежутке времени от t до t1
при условии, что изделие до момента времени t не отказывало.
  Обозначим эту вероятность через P t , t1 .         (            )
                                       Δt
                       0                                          T
                                 t           t1
   Событие А - изделие работало безотказно на интервале времени от 0 до t .
   Событие В - изделие работало безотказно на интервале времени от t до t1 ( t 1 = t + Δ t )
    AB - произведение событий А и В. Произведением событий А и В является событие,
заключающееся в совместном появлении этих событий.
                                    P(AB) = P(A) P(B/A).
    P(B/A) - условная вероятность события B при условии, что событие А произошло (имело
место).
    P(A) = P(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t
                          P(B/A) = P(AB) / P(A); P(B/A) = P t , t1 .                            (      )
    Но вероятность P(AB) есть вероятность безотказной работы изделия на интервале
                                                  ( ) (
                                 0, t + t , t1 = (0, t1) ;             )
                                 т.е.                 P(AB) = P ( t1) .
  Поэтому
                                                                           P( t1)
                                                      P( t , t1) =                  .
                                                 ()                        Pt
 Вероятность отказа изделия на интервале ( t , t ) равна                   1


                                                                               P( t1)        ()
                                                                                            P t − P( t1)
                                  (        )          (
                                q t , t1 = 1 − P t , t1 = 1 −     )                     =                  ;
                                                                                ( )
                                                                               Pt              Pt ()
 Так как t1 = t + Δ t , то
                                                              () (            );
                                                                      P t −P t +Δt
                                            (
                                          q t ,t + Δ t =      )     P( t )
                                                        P(t ) − P(t + Δ t )    1
                                      (
                                     q t ,t     +Δt ) =
                                                                Δt
                                                                            ×
                                                                              P( t )
                                                                                     Δt ;


                               ⎡ P( t ) − P( t + Δt ) ⎤ Δt               ⎡ P( t + Δt ) − P( t ) ⎤ Δt           P| ( t )
  lim q( t , t + Δt ) = lim ⎢                         ⎥ × P( t ) = Δlim  ⎢−                     ⎥ × P( t ) = − P( t ) Δt ;
  Δt → 0                Δt → 0 ⎣          Δt          ⎦              t→0 ⎣         Δt           ⎦

Страницы