Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-14-
(1.1)
Введём обозначение
()
(
)
λ t
P
t
Pt
=−
|
()
; (1.2)
()
()
()
λ t
ft
Pt
= ;
(
)
λ
t
- интенсивность отказов.
При малом Δt из (1.1) имеем
(
)
(
)
qtt t t t, +≈ΔΔλ
.
Отсюда
()
λ t
qtt t
t
≈
+
(, )
Δ
Δ
. (1.3)
Из (1.3) видно, что интенсивность отказов представляет собой отношение вероятности
отказа на интервале (t, t + Δt) к длине этого интервала (при малом Δt).
Из (1.1) имеем
()
(
)
()
()
Δ
Δ
Δ
t
qt,t t
t
P
t
Pt
t
→
+
=− =
0
lim
|
λ
.
Из (1.2) имеем
()
(
)
()
λ
00
tt
tdt
P
t
Pt
dt
∫
=−
∫
−
|
.
Отсюда
() ()
λ
0
t
tdt Pt
∫
=−ln
;
или
()
()
Pt
e
tdt
t
=
−
∫
λ
0
(1.4)
()
(
)
()
λ t
ft
Pt
= ;
(
)
(
)
(
)
ft tPt
=
λ
;
или
(
)
(
)
()
ft t
e
tdt
t
=
−
∫
λ
λ
0
(1.5)
Для практически важного частного случая
(
)
λ
λ
t const
=
=
; формула (1.4) принимает вид
(
)
Pt
e
t
=
−λ
(1.6)
Формула (1.6) называется экспоненциальным законом надёжности
. На практике этот
закон ввиду его простоты нашёл широкое применение при расчёте надёжности изделий.
График функции
λ(t):
λ(t) 
                                                               -14-
                                                                                                      (1.1)
                                                             P| ( t)
 Введём обозначение                                λ( t) = −         ;                 (1.2)
                                                             P( t )
                                      f ( t)
                           λ( t ) =          ; λ( t ) - интенсивность отказов.
                                      P( t )
 При малом Δt из (1.1) имеем
                                      q( t , t + Δt ) ≈ λ( t ) Δt .
                                                 q ( t , t + Δt )
                Отсюда                 λ( t ) ≈                   . (1.3)
                                                         Δt
  Из (1.3) видно, что интенсивность отказов представляет собой отношение вероятности
отказа на интервале (t, t + Δt) к длине этого интервала (при малом Δt).

         Из (1.1) имеем
                                             q(t, t + Δt)    P| ( t)
                                      lim                 =−         = λ( t) .
                                      Δt → 0      Δt         P( t)

         Из (1.2) имеем
                                           t                    −t
                                                                  P| ( t )
                                           ∫ λ( t ) dt = − ∫               dt .
                                           0                    0 P( t )


                                               t
          Отсюда                               ∫ λ( t ) dt = − ln P( t ) ;
                                               0


                                                                 t
           или                                     P( t) = e−0∫ λ(t)dt                 (1.4)

                                                    f ( t)
                                        λ( t ) =           ;              f ( t ) = λ( t ) P( t ) ;
                                                    P( t )

                                                                      t

           или                                 f (t) = λ(t) e − 0∫ λ(t)dt                   (1.5)



  Для практически важного частного случая λ( t ) = λ = const ; формула (1.4) принимает вид

                                                     P( t ) = e−λt                            (1.6)

   Формула (1.6) называется экспоненциальным законом надёжности. На практике этот
закон ввиду его простоты нашёл широкое применение при расчёте надёжности изделий.
  График функции λ(t):

                    λ(t)

Страницы