Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-16-
t
m
Ptt Ptdt Ptdt=− + =
∫∫
∞
∞∞
() () ()
0
00
;
т.к. P(t) при t
→ ∞ убывает быстрее, чем растёт t.
t
m
Ptdt
=
∫
∞
()
0
Для экспоненциального закона надёжности имеем:
P t
e
t
()=
−λ
;
t
tt
m
Ptdt
e
dt
e
===−=
∫∫
−−
∞
∞∞
()
λλ
λλ
11
0
00
.
Итак, для экспоненциального закона надёжности среднее время безотказной работы есть
величина, обратная интенсивности отказов.
Приближённое значение
t
m
можно определить по формуле
tt
mm
≈
*
, где
ti
i
N
m
N
t
*
=
∑
=
1
1
Здесь
i
t
- время безотказной работы i - го изделия; N - общее число изделий, поставленных
на испытания.
Определим дисперсию времени безотказной работы
. Имеем
()
[]
()
[
]
{
t
t
tttt
t
m
t
t
m
t
D
MT
m
M
Tm
T
m
M
Tm
MT M
m
M
Tm
== − = − + = − + = −
2
2
222 2
2
22
22
σ
[] [ ] [ ]
123
;
tt t t
D
M
Tm t
ftdt
mtP
tdt
m
=−=
∫
−=− −
∫
∞∞
[ ] () ()
|222
0
22 2
0
.
Интеграл берём по частям
u
t
=
2
; dv
P
tdt=
|
() ;
du td
t
=
2 ; v = P(t) ;
−=−+=
∫∫∫
∞
∞∞∞
22
0
000
22
tP
tdt
t
Pt tPtdt tPtdt
|
() () () () ;
tt
D
tP t dt
m
=−
∫
∞
2
2
0
()
Для экспоненциального закона надёжности имеем:
P t
e
t
()=
−λ
;
t
m
=
1
λ
;
t
t
D
t
e
dt
=−
∫
−
∞
2
1
2
0
λ
λ
.
Интеграл берём по частям:
u = t ;
dv
e
dt
t
=
−λ
;
du = dt;
v
e
t
=−
−
1
λ
λ
;
t
tt t t
D
t
ee
dt
e
dt
e
=− +
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−=
∫
−=
−
−=−=
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
2
11
2
11
2
11211
0
0
2
0
22
0
2222
λλ
λ
λ
λλ λλλλ
λλ λ λ
;
t
D
=
1
2
λ
;
t
t
D
σ
λ
==
1
; 
                                                                           -16-
                                                                   ∞           ∞                ∞
                                       mt = − P( t ) t + ∫ P( t ) dt = ∫ P( t ) dt ;
                                                                   0           0                0

                       т.к. P(t) при t → ∞ убывает быстрее, чем растёт t.

                                                                           ∞
                                                       mt = ∫ P( t) dt
                                                                           0


Для экспоненциального закона надёжности имеем:
                                    P( t ) = e−λt ;
                                        ∞             1 − λt ∞ 1
                                                               ∞
                                  mt = ∫ P( t ) dt = ∫ e− λt dt = −
                                                        e      = .
                                 0         0          λ      0  λ
  Итак, для экспоненциального закона надёжности среднее время безотказной работы есть
величина, обратная интенсивности отказов.
                                                                                  1 N
  Приближённое значение mt можно определить по формуле mt ≈ m*t , где m*t = ∑ t i
                                                                                  N i =1
  Здесь t i - время безотказной работы i - го изделия; N - общее число изделий, поставленных
на испытания.
  Определим дисперсию времени безотказной работы. Имеем

                 [       2
                          ]
     Dt = σ2t = M (T − mt) = M(T2 − 2 mt T + m2t ) = M[T2] − 2 mt M
                                                                  {[T] + M[m
                                                                         123t ] = M[T ] − mt ;
                                                                            2        2     2

                                                                                                            mt   m2t
                                                       ∞                                            ∞
                      Dt = M[ T2] − m2t = ∫ t 2 f ( t )dt − m2t = − ∫ t 2 P| ( t ) dt − m2t .
                                                       0                                            0
     Интеграл берём по частям
                                             u = t2 ;                              dv = P| ( t)dt ;
                                             du = 2 tdt ;                           v = P(t) ;
                         ∞                                         ∞               ∞                    ∞
                       − ∫ t P ( t )dt = − t P( t ) + 2 ∫ tP( t )dt = 2 ∫ tP( t )dt ;
                              2    |               2

                         0                                             0           0                    0


                                                               ∞
                                                Dt = 2 ∫ tP( t)dt − m2t
                                                               0


 Для экспоненциального закона надёжности имеем:
                                                                                               1
                                            P( t ) = e−λt ;                            mt =      ;
                                                                                               λ
                                                           ∞                            1
                                             Dt = 2 ∫ t e− λt dt −                         .
                                                           0                            λ2
 Интеграл берём по частям:
                                             dv = e−λt dt ;
                                            u=t;
                                                    1
                                  du = dt; v = − e− λt ;
                                                   λ
           ⎡ t − λt ∞
                       1 ∞ − λt ⎤ 1       1 ∞ − λt     1     1 − λt ∞ 1     2  1   1
    Dt = 2 ⎢− e       + ∫ e dt ⎥ − 2 = 2 ∫ e dt − 2 = 2        2e     − 2 = 2− 2 = 2;
           ⎣ λ      0  λ0       ⎦ λ       λ0           λ    −λ      0  λ   λ λ    λ

                                                       1              1
                                             Dt =        2 ; σt = Dt = ;
                                                       λ              λ

Страницы