Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-18-
PA
q
t
B
() ()= - вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени от 0
до t.
P(B/A) = P(AB) / P(A).
Вероятность P(AB) есть вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале
( , ) ( , ) ( , )00
11
tt
tt
+
=
т.е. P(AB) =
B
q
t
()
1
()
PB A
q
t
t
B
(/) ,=
1
- вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени
()
t
t
,
1
при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.
Таким образом
()
(
)
()
B
B
B
q
t
t
q
t
q
t
,
1
1
= ;
()
B
B
P
t
t
q
t
t
(, ) ,
11
1=− - вероятность того, что отказ изделия будет устранён на интервале
времени
()
t
t
,
1
при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до
t.
()
(
)
()
(
)
(
)
()
B
B
B
BB
B
P
t
t
q
t
q
t
q
t
q
t
q
t
,
1
11
1=− =
−
.
Пусть
1
tt
t=+Δ
; тогда
()
(
)
B
BB
B
P
tt t
q
t
q
tt
q
t
,
()
()
+=
−+
Δ
Δ
;
()
B
BB
B
P
tt t
t
q
t
q
tt
t
q
t
,
() ( )
()
+
=
−+
Δ
Δ
Δ
Δ
1
;
ΔΔ Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
t
B
t
BB
B
t
BB
B
P
tt t
t
q
t
q
tt
t
q
t
q
tt
q
t
t
q
t
→→ →
+
=
−+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=−
+−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
00 0
11
lim
(, )
lim
() ( )
()
lim
()()
()
=− =
B
B
q
t)
q
t)
t)
|
(
(
(
μ ;
[]
−=− =−− ==
BB
BBB
q
t
d
dt
q
t
d
dt
P
t
P
t
f
t
|
|
() () () () ()1.
Таким образом:
()
(
)
()
μ t
q
t
q
t
B
B
=−
|
; (*)
или:
()
(
)
()
μ t
f
t
q
t
B
B
=
Из (*) имеем
()
(
)
()
μ tdt
q
t
q
t
dt
t
B
B
t
00
∫
=−
∫
|
;
или
() ()
μ tdt
q
t
t
B
0
∫
=−ln ;
или
()
()
B
tdt
t
q
t
e
=
∫
−μ
0
;
(
)
(
)
B
B
P
t
q
t
=
−
1 ; 
                                                                         -18-
  P( A) = q B ( t) - вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени от 0
до t.
                                          P(B/A) = P(AB) / P(A).
 Вероятность P(AB) есть вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале
                                            (0, t ) + ( t , t1) = (0, t1)
                                   т.е.       P(AB) = q B ( t1)
P( B / A ) = q B ( t , t1) - вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени
( t , t1)
     при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.
  Таким образом
                                                  q ( t1)
                                   q B ( t , t1) = B      ;
                                                  qB t                            ( )
PB ( t, t1) = 1 − q B ( t, t1) - вероятность того, что отказ изделия будет устранён на интервале
времени ( t , t1) при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до
t.
                                                 q B ( t1) q B ( t) − q B ( t1)
                               PB ( t, t1) = 1 −          =                     .
                                                 qB t                ()
                                                                  q B ( t)
    Пусть t1 = t + Δt ; тогда
                                                                     q B ( t) − q B ( t + Δt)
                                              PB ( t, t + Δt) =                               ;
                                                                              q B ( t)
                                          P B ( t , t + Δt ) q B ( t ) − q B ( t + Δt ) 1
                                                            =                                 ;
                                                  Δt                     Δt            qB (t)
                   PB ( t, t + Δt)           ⎡ q B ( t) − q B ( t + Δt) ⎤ 1                ⎡ q B ( t + Δt) − q B ( t) ⎤ 1
            lim                    = lim ⎢                               ⎥ q ( t) Δt→0 ⎢−
                                                                                     = lim                            ⎥ q ( t) =
            Δt → 0        Δt          Δt → 0 ⎣            Δt             ⎦ B               ⎣            Δt            ⎦ B
                                                                      |
                                                                     q (t)
                                                                = − B = μ(t) ;
                                                                     q B (t)
                                                    d                d
                                 − q B ( t) = − q B ( t) = − [1 − PB ( t)] = P|B ( t) = f B ( t) .
                                    |

                                                   dt                dt
                                                                        q |B ( t )
            Таким образом:                                 μ( t ) = −              ; (*)
                                                                        qB ( t)




                                                                         f B ( t)
                                     или:                     μ( t ) =
                                                                         qB ( t)

                                                         t                q|B ( t )
                                                                              t
                      Из (*) имеем                       ∫ μ( t )dt = − ∫           dt ;
                                                         0              0 qB ( t)
                                                         t
                      или                                ∫ μ( t)dt = − ln q B ( t) ;
                                                         0
                                                                            t

                      или                                    qB ( t) = e ∫ − μ ( t ) dt
                                                                                          ;
                                                                            0

                                                             PB ( t ) = 1 − q B ( t ) ;

Страницы