Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-30-
u
t
m
t
t
=
−
σ
;
du dt
t
=
1
σ
;
(
)
2
2
2
u
t
t
m
t
=
−
σ
.
Если t
=−∞, то u=
−
∞ .
Следовательно
()
()
qt
e
dt
e
du
t
t
t
m
t
t
u
u
=
∫
=
∫
−
−
−∞
−
−∞
1
2
1
2
2
2
2
2
2
π
σ
π
σ
.
Введём в рассмотрение нормированную функцию Лапласа
()
Φ u
e
du
u
u
=
∫
−
1
2
2
2
0
π
,
()
Φ∞ =
∫
−
∞
1
2
2
2
0
π
u
e
du ,
()
Φ−∞ =
∫
=−
∫
−
−∞
−
−∞
1
2
1
2
2
2
0
2
2
0
ππ
uu
e
du
e
du
.
Свойства функции Лапласа
1)
()
Φ 00= ;
2)
()
(
)
ΦΦ−=−uu;
3)
()
Φ∞ =05,.
Запишем q(t) в виде
()
()
qt
e
du
e
du
uu
u
u
=
∫
+
∫
−
−∞
−
1
2
1
2
2
2
0
05
2
2
0
ππ
,
1244344 1 244344
Φ
;
()
(
)
qt u=
+
05,
Φ
u
t
m
t
t
=
−
σ
;
q(t) p(t)
1 1
0 t 0 t
() ()
(
)
Pt qt u=−
=
−
105,
Φ
; u
t
m
t
t
=
−
σ
.
Определим вероятность безотказной работы изделия в интервале времени
()
t
t
,
1
()()()
P
t
T
t
q
t
q
t
tm tm
t
t
t
t
1221
21
≤≤ = − =
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ΦΦ
σσ
.
Определим интенсивность отказов
(
)
λ
t. Имеем
()
()
()
()
λ
π
σ
σ
σ
t
ft
Pt
e
t
m
t
t
t
m
t
t
t
==
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
1
2
05
2
2
2
, Φ
()
λ t 
                                                             -30-


                    u=
                       t − mt
                              ;
                                                        1
                                                    du = dt ;                 2
                                                                                  =
                                                                                    (t − mt)     2

                                                                                                     .
                                                                          u
                          σt                            σt                                 σ2t
Если t = −∞ , то u = −∞ .
Следовательно
                                          1      t    (t − m t )
                                                               2
                                                                               1 u − u2
                            q( t ) =             ∫ e − 2 σ 2t dt =                 ∫ e 2 du .
                                         2π σ t − ∞                            2π − ∞
Введём в рассмотрение нормированную функцию Лапласа
         1 u − u2              1 ∞ − u2                 1 −∞ − u 2      1 0 − u2
Φ( u ) =    ∫ e 2 du , Φ( ∞) =    ∫ e 2 du , Φ( − ∞ ) =    ∫ e 2 du = −      ∫ e 2 du .
         2π 0                  2π 0                     2π 0            2 π −∞

Свойства функции Лапласа
      1) Φ( 0) = 0;
      2) Φ( − u) = − Φ( u);
      3) Φ( ∞) = 0,5.
Запишем q(t) в виде
                                             1 0 − u2        1 u − u2
                                q(t) =            ∫ e 2 du +     ∫ e 2 du ;
                                             2
                                            14 π −∞
                                               42 44    3 14 2 π
                                                               420
                                                                    44 3
                                                      0 ,5                          Φ (u)


                                                                          t − mt
                                  q( t ) = 0,5 + Φ( u)               u=          ;
                                                                            σt

    q(t)                                                      p(t)

1                                                        1




0                                               t        0                                               t
                                                             t − mt
                     P( t ) = 1 − q( t ) = 0,5 − Φ( u) ; u =        .
                                                               σt
Определим вероятность безотказной работы изделия в интервале времени ( t , t1)
                                                        ⎛ t 2 − mt ⎞        ⎛ t 1 − mt ⎞
                P( t1 ≤ T ≤ t 2 ) = q( t 2) − q( t1) = Φ⎜             ⎟ − Φ⎜           ⎟.
                                                        ⎝ σt ⎠              ⎝ σt ⎠
Определим интенсивность отказов λ( t ) . Имеем
                                                      1        ( t − m t )2
                                                                          e−      2 σ 2t
                                                f ( t)         2π σt
                                       λ( t ) =        =
                                                P( t )              ⎛ t − mt ⎞
                                                             0,5 − Φ⎜        ⎟
                                                                    ⎝ σt ⎠

    λ( t )

Страницы