Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-32-
(
)
λ tak
t
k
=
−1
P(t)
(
)
λ
t
1
k<1 k>1
k=1
k=1 k<1
k>1
0 t t
Определим среднее время безотказной работы. Имеем
()
t
a
k
m
Ptdt
t
e
dt=
∫
=
∫
∞
−
∞
00
.
Введём новую переменную u вида
u a
t
k
= ;
k
t
u
a
= ;
t
u
a
u
a
k
k
k
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
1
1
1
;
dt
k
u
a
du
k
k
=
−
1
1
1
1
; dt
k
u
a
du
k
k
k
=
−
1
1
1
;
если t = 0, то u = 0.
если t = ∞ , то u = ∞.
()
t
a
k
t
k
ukk
me
dt
k
a
eu
du==
∫∫
−
∞
−−
∞
1
1
0
1
0
/
.
()
Γ
1
11
0
k
eu
du
uk
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∫
−−
∞
- гамма - функция
t
k
m
kk
a
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
11
1
Γ
Определим дисперсию времени безотказной работы Т.
Имеем
()
()
()
() () () () ()
tttt
t
t
tt
D
t
t
m
ftdt
tm
t
m
ftdt
t
ftdt
m
tf t dt
m
m
ftdt
t
ftdt
m
=−
∫
=− + =
∫
−
∫
+
∫∫
=−
∫
∞∞∞
=
∞ ∞
2
0
222
00
2
0
1
0
22
0
22
12434123
;
()
221
00
1
0
t
ftdt
t
ak
t
t
e
dt ak
t
t
e
dt
ka
k
ka
k
=
∫∫
=
∫
−−
∞∞
+−
∞
;
Введём новую переменную u вида
ua
t
k
= ;
u
a
t
k
= ;
1
1
k
k
u
a
t= ;
                                                                            -32-
                                                               λ( t ) = ak t k −1

P(t)                                                                  λ( t )

  1
                                                                                   k<1                              k>1
                                                                                                        k=1
               k=1                             k<1



       k>1
  0                                                                    t                                                        t

  Определим среднее время безотказной работы. Имеем
                                                              ∞                    ∞        k
                                                     m t = ∫ P( t )dt = ∫ e − a t dt .
                                                              0                    0
  Введём новую переменную u вида
                                                                                                   1            1
                                                                  u                      ⎛ u⎞ k u k
                                            u = a tk ;        tk = ;                   t=⎜ ⎟ = 1;
                                                                  a                      ⎝ a⎠   ak
                                                 1 1 −1                                     1 1− k
                                                   uk                                         uk
                                            dt = k      du;                            dt = k      du;
                                                    1                                          1
                                                   ak                                         ak
       если t = 0, то u = 0.
       если t = ∞ , то u = ∞.
                                                         ∞
                                                                  k              1 ∞ − u (1− k ) / k
                                               m t = ∫ e − a t dt =                   ∫e u           du.
                                                         0                     k a1 k 0

                                                    ⎛ 1⎞  ∞
                                                  Γ ⎜ ⎟ = ∫ e − u u (1 k ) − 1d u                      - гамма - функция
                                                    ⎝ k⎠  0




                                                                           1 ⎛ 1⎞
                                                                            Γ⎜ ⎟
                                                                           k ⎝ k⎠
                                                             mt =              1
                                                                             ak

  Определим дисперсию времени безотказной работы Т.
  Имеем
           (      )
       ∞                        ∞                                              ∞                        t             ∞     ∞
Dt = ∫ t − m t f ( t )dt = ∫ ( t 2 − 2 mt t + m2t )f ( t ) dt = ∫ t 2 f ( t )dt − 2 mt ∫ tf ( t ) dt + m2t ∫ f ( t ) dt = ∫ t 2 f ( t ) dt − m2t ;
                      2

     0                     0                                    0                      04 4
                                                                                       12       3          0
                                                                                                           123            0
                                                                                                                =1
                                                                                           mt
                                    ∞                    ∞                     k        ∞                   k
                                    ∫ t f ( t) dt = ∫ t2 ak t k −1 e−a t dt = ∫ ak t k+1 e−a t dt;
                                        2

                                    0                    0                              0
  Введём новую переменную u вида
                                                                                        1
                                                                      u                uk
                                                u = a tk ;              = tk ;          1   = t;
                                                                      a                ak

Страницы