Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 34 стр.

                                                                        -33-

                                                                     1 1 1 −1
    если t = 0, то u = 0.                                    dt =      1   u k du ;
                                                                     a k k
    если t = ∞ , то u = ∞.
                                                                 1
                      ∞
                                          u u k − u 1 1 1 −1
                                                ∞
                                                                  1∞         2
                       ∫ t f( t)dt = ∫ ak              u k u du = 2 ∫ e− u u kdu.
                          2
                                             1 e     1
                       0             0    a ak ak k              ak 0
 Известно следующее соотношение для гамма - функции.
                                                          ⎛2   ⎞ ∞
                                                        Γ ⎜ + 1⎟ = ∫ e − u u 2 kd u;
                                                          ⎝k   ⎠   0
                                                        ∞                         1       ⎛2   ⎞
 Следовательно                                          ∫ t 2 f ( t )dt =               Γ ⎜ + 1⎟ .
                                                        0                     a   2 k
                                                                                          ⎝k   ⎠
 Тогда
                                                                                                                 2
                                            1 ⎛2       ⎞   1                                   ⎡1 ⎛ 1⎞⎤
                                      D t = 2 k Γ ⎜ + 1⎟ − 2 k                                 ⎢ k Γ ⎜⎝ k ⎟⎠ ⎥
                                           a      ⎝k   ⎠ a                                     ⎣             ⎦

                                             1 ⎧⎪ ⎛ 2 ⎞ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎫⎪
                                                                    2

                                       D t = 2 k ⎨Γ⎜ + 1⎟ − ⎢ Γ⎜ ⎟ ⎥ ⎬
                                            a ⎪⎩ ⎝ k ⎠ ⎣ k ⎝ k ⎠ ⎦ ⎪⎭

  Рассмотрим случай, когда k = 1; a = λ .
  В этом случае имеем f ( t ) = λ e− λt .
Т.е. в этом случае имеем экспоненциальный закон надёжности.
  Пусть k = 2. В этом случае имеем закон Рэлея. Закон Вейбулла лучше описывает время
безотказной работы изделия, чем экспоненциальный закон, т.к. в этом случае имеется два
параметра: a и k. Пусть k = 2; a = 1 (2 σ2t ) . Тогда имеем σ2t = Dt ;
                                 t              t2
                      f (t ) =       2 e
                                           −
                                               2 σ 2t        - закон распределения Рэлея.
                                 σt


                                                            t2                                     t2
                    P( t) = e− a t = e− 2 σ 2t ;                             P( t) = e − 2 σ 2t ;
                                  k




                                                                                              t2
                                               q( t) = 1 − P( t) = 1 − e− 2σ2t ;
                                                                                         t2
                                                f ( t)   t e − 2 σ 2t   t
                                            ( )
                                           λt =        = 2            =   ;
                                                P( t ) σ t − t 2 σ 2t
                                                                 2
                                                           e 2σ t

                                                                             t
                                                                 λ( t ) =       ;
                                                                            σ2t



  f(t)                                         λ( t )                                                            P(t)

                                                                                                          1