Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 44 стр.

                                                                -43-
 Для равнонадёжных элементов системы имеем:
                                  Pij ( t ) = P( t )

                                                          [
                                                Pc ( t) = 1−[1− P( t)]        ];
                                                                          m+1 n




                               1.22 Режим облегченного (тёплого) резерва.

  Рассмотрим случай, когда время безотказной работы всех элементов изделия подчиняется
экспоненциальному закону распределения. В этом случае процессы, характеризующие
работу изделия являются марковскими. Для определения характеристик надёжности можно
использовать математический аппарат теории марковских случайных процессов.
  В режиме облегченного резерва резервные элементы находятся в режиме недогрузки до
момента их включения в работу. Пусть λ1 - интенсивность отказа резервного элемента в
режиме недогрузки до момента их включения в работу. λ0 - интенсивность отказа резервного
элемента в состоянии работы.
  Введём в рассмотрение состояния S0 , S1 , S2 ,........., Sm , Sm+1 .
  S0 - основной элемент исправен и работает, m резервных элементов исправны и находятся
в режиме недогрузки.
  S1 - основной элемент отказал, работает 1 - ый резервный элемент, (m - 1) резервные
элементы исправны и находятся в режиме недогрузки.
  S2 - отказал 1 - ый резервный элемент, работает 2 - ой резервный элемент, (m - 2) резервных
элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.
  Si - отказал i - й резервный элемент, работает i - й резервный элемент, (m - i ) резервных
элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.
  Sm - отказал (m - 1) - ый элемент, работает m - ый резервный элемент.
  Sm+1 - отказал m -ый резервный элемент.




     Построим граф состояний:

          λ 0 + m λ1             λ 0 + ( m − 1) λ1 ……. λ 0 + ( m + 1 − i) λ1                 λ 0 + ( m − i) λ1   λ0
    S0                    S1                                                            Si                        Sm+1

 Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Для этого введём
обозначения:
     P0(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени t в
     состоянии S0.
     Pi(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени t в
     состоянии Si , i = 0, 1, ….., m, m + 1.

     d P0 ( t )
                 = −( λ 0 + m λ1) P0 ( t );
        dt
     d P1 ( t )
                 = ( λ 0 + m λ1) P0 ( t ) − [λ 0 + ( m − 1) λ1] P1 ( t ) ;
        dt
     ………………………………………………….
    d Pi ( t )
                = [λ 0 + ( m + 1 − i) λ1] Pi −1 ( t ) − [λ 0 + ( m − i) λ1] Pi ( t );
       dt