Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-44-
………………………………………………….
()
()
d
P
t
dt
P
t
m
m
+
=
1
0
λ
.
Начальные условия:
()
0
01
P
=
() ()
(
)
(
)
12 1
00 0 00
PP P P
im
==
=
=
=
=
+
.............. ........... .
Применим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова преобразование Лапласа.
Получим систему линейных алгебраических уравнений вида: P
i(t) - оригинал
P
i(S) - изображение по Лапласу
(
)
[
]
(
)
Ζ
ii
P
t
P
S= .
()
() ()
Ζ
d
P
t
dt
S
P
S
P
i
ii
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=−0 , i = 0, 1, ……, m +1
()
()
Sm
P
S++ =
01
0
1
λλ
;
()
[]
(
)
()
(
)
Sm
P
Sm
P
S++ − = +
01
1
01
0
1
λλλλ
,
…………………………………………….
()
[]
(
)( )
[]
(
)
Smi
P
Smi
P
S
ii
++ − = + +−
−
010 1
1
1
λλλ λ
;
…………………………………………….
() ()
S
P
S
P
S
mm+
=
1
0
λ
.
Решая систему уравнений получим
()
(
)
(
)
(
)
()( )( )( )
m
P
S
m
SS S S S m
+
=
++ +
+++++ ++
1
00 1 0 1 0 1
00101 01
2
2
λλ λλ λ λ λ
λλλλλ λλ
.......
.......
Найдём оригинал
()
m
P
t
+1
. Имеем
() ()
()
m
c
t
i
i
i
m
P
t
q
t
e
a
i
e
t
+
−
=
==− + −
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
1
0
1
111
1
λλ
!
;
где
i
j
i
a
j=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
0
1
0
1
Π
λ
λ
.
Здесь
()
c
q
t
- вероятность отказа резервированной системы с облегченным
резервированием.
Определим вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием
.
Имеем:
() ()
()
c
c
t
i
i
i
m
P
t
q
t
e
a
i
e
t
=− = + −
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
=
−
111
0
1
1
λλ
!
.
Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием.
Имеем:
()
()
tc c
tt
i
i
m
i
mP
tdt
e
dt
e
a
i
e
dt
t
=
∫
=
∫
+
∫
∑
−
∞
−
∞
−
∞
=
−
0
0
0
0
0
1
1
1
λλ λ
!
.
Формула бинома Ньютона
( ) () () ()
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
n
mnmm
n
n
nn
ab
ca ca
b
ca b ca b c a b cb
−=− +− +− +− +− + +−
−− − −
0
0
1
11
2
222
3
333
11 1 1 1 1....... .
где
()
n
m
c
n
mn m
=
−
!
!!
При a = 1 имеем:
() ()
nj
j
n
n
jj
b
cb
11
0
−=−
∑
=
;
                                                                      -44-
     ………………………………………………….
    d P m +1 ( t )
                   = λ0 Pm ( t ) .
        dt
   Начальные условия:
                         P0 ( 0) = 1
                         P1 ( 0) = P2 ( 0) =.............. = Pi ( 0) =........... = P m+1 ( 0) = 0 .
 Применим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова преобразование Лапласа.
Получим систему линейных алгебраических уравнений вида: Pi(t) - оригинал
                                                                                   Pi(S) - изображение по Лапласу
                                                      Ζ[ Pi ( t ) ] = Pi ( S).
                                 ⎡ d Pi ( t ) ⎤
                              Ζ⎢              ⎥ = S Pi ( S) − Pi ( 0) , i = 0, 1, ……, m +1
                                 ⎣ dt ⎦

      (S + λ 0 + m λ1) P0 (S) = 1;
      [S + λ 0 + ( m − 1) λ1] P1 (S) = (λ 0 + m λ1) P0 (S) ,
     …………………………………………….
    [S + λ 0 + ( m − i) λ1] Pi (S) = [λ 0 + ( m + 1 − i) λ1] Pi −1 (S);
     …………………………………………….
    S P m+1 ( S) = λ 0 P m ( S).
   Решая систему уравнений получим
                                                 λ 0 (λ 0 + λ1)(λ 0 + 2 λ1)....... (λ 0 + m λ1)
                         P m+1 (S) =
                                      S(S + λ 0)(S + λ 0 + λ1)(S + λ 0 + 2 λ1)....... (S + λ 0 + m λ1)
   Найдём оригинал P m+1 ( t ) . Имеем
                                                                       ⎡ m ai                i⎤
                                   P m+1 ( t) = q c ( t) = 1 − e− λ 0t ⎢1 + ∑ (1− e− λ1t) ⎥;
                                                                       ⎣ i =1 i !             ⎦
                                                            i −1 ⎛     λ0 ⎞
                   где                                 ai = Π ⎜ j + ⎟ .
                                                            j= 0 ⎝     λ1 ⎠
  Здесь       q c ( t ) - вероятность отказа резервированной системы с облегченным
резервированием.
  Определим вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием.
Имеем:
                                                                     ⎡ m ai                i⎤
                                   Pc ( t) = 1 − q c ( t) = e− λ 0t ⎢1 + ∑ (1− e− λ1t) ⎥.
                                                                     ⎣ i =1 i !             ⎦
  Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием.
Имеем:
                                           ∞               ∞                ∞
                                                                                         ai
                                                                                            (1− e−λ1t) dt.
                                                                                    m
                                  mtc = ∫ Pc( t)dt = ∫ e−λ0t dt + ∫ e−λ0t∑
                                                                                                      i

                                           0               0                0       i =1 i!
   Формула бинома Ньютона
( a − b) n = ( −1) 0 c0n a n + ( −1)1 c1n a n −1 b + ( −1) 2 c2n a n −2 b2 + ( −1) 3 c3n a n − 3 b3 + ( −1) m cmn a n − m bm +.......+ ( −1) n cnn bn .
                                                                         n!
                                                    где cmn =
                                                                   m!( n − m) !
   При a = 1 имеем:
                                                                      n
                                                       (1− b) n = ∑ ( −1) j cnj b j ;
                                                                     j= 0

Страницы